Logische Äquivalenz für $p \lor q$

Question

Das muss ich beweisen

$$p \vee q \equiv (p\wedge q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$$

Basierend auf der Wahrheitstabelle sind sie äquivalent, aber ich konnte nicht herausfinden, wie man logische Anweisungen verwendet, um zu beweisen, dass sie äquivalent sind. Ich habe viele Wege ausprobiert, aber sie werden alle komisch.

$(p\wedge q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$

$\equiv (p\wedge q) \vee ((\neg p\wedge q)\vee p) \wedge ((\neg p\wedge q)\vee \neg q)$

$\equiv (p\wedge q) \vee ((T \wedge (q\vee p)) \wedge (T\wedge \neg(p \wedge q))$

$\equiv (p\wedge q) \vee (q\vee p) \wedge \neg(p \wedge q)$

Ich konnte von diesem Punkt an nicht herausfinden, was ich tun sollte. Habe ich etwas falsch gemacht? Vielen Dank

Answer 1

Mit den hier aufgeführten grundlegenden logischen Äquivalenzen können Sie dies leicht beweisen$p \lor q$ ist äquivalent zu $(p∧q)∨(¬p∧q)∨(p∧¬q)$.

\ begin {align} & \ quad \ (p∧q) ∨ (¬p∧q) ∨ (p∧¬q) \\ \ text {(Kommutativität)} \ quad & \ equiv (p \ land q) \ lor (p \ land \ lnot q) \ lor (\ lnot p \ land q) \\ \ text {(Verteilbarkeit von $\land$ Über $\lor$)} \ quad & \ equiv (p \ land (q \ lor \ lnot q)) \ lor (\ lnot p \ land q) \\ \ text {(Negationsgesetz)} \ quad & \ equiv (p \ land \ oben) \ lor (\ lnot p \ land q) \\ \ text {(Identitätsgesetz)} \ quad & \ equiv p \ lor (\ lnot p \ land q) \\ \ text {(Verteilbarkeit von $\lor$ Über $\land$)} \ quad & \ equiv (p \ lor \ lnot p) \ land (p \ lor q) \\ \ text {(Negationsgesetz)} \ quad & \ equiv \ top \ land (p \ lor q) \\ \ text {(Identitätsgesetz)} \ quad & \ equiv p \ lor q \ end {align} where$\top$steht für eine Tautologie , dh eine Formel, die immer wahr ist. In den ersten beiden Zeilen bleibt die Verwendung des Assoziativitätsgesetzes implizit.

Answer 2

Beweisen $p \vee q \equiv (p\wedge q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$Beginnen wir wie folgt mit RHS.

$(p\wedge q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$

$\equiv q \wedge (p\vee \neg p) \vee (p\wedge \neg q)$

$\equiv (q \wedge \text{T}) \vee (p\wedge \neg q)$

$\equiv q \vee (p\wedge \neg q)$

$\equiv (q \vee p)\wedge(q\vee \neg q)$

$\equiv (q \vee p)\wedge \text{T}$

$\equiv (q \vee p)$

QED

Answer 3

Zur besseren Lesbarkeit benutze ich $+$ für "oder", $\cdot$ für "und" und $()'$ zur Verneinung.

Sie haben also \ begin {eqnarray *} pq + p'q + pq '& = & (p + p') q + pq '\\ & = & q + pq' \\ & \ stackrel {DeMorgan} {= } & (q '(p' + q)) '\\ & \ stackrel {qq' = F} {=} & (q'p ')' \\ & = & p + q \ end {eqnarray *}