Lösen einer PDE (2D Laplace) gekoppelt mit einer ODE

Question

Ich habe diese Frage schon einmal gestellt, aber dies ist mein neuer Versuch. Anstatt den vorherigen zu überladen, mache ich einen neuen Beitrag. Ich versuche eine PDE analytisch zu lösen ($\nabla^2 T(x,y)=0$) gekoppelt mit einer ODE. Die PDE unterliegt folgenden Randbedingungen:

$$\frac{\partial T(0,y)}{\partial x}=\frac{\partial T(L,y)}{\partial x}=0 \tag 1$$

$$\frac{\partial T(x,0)}{\partial y}=\gamma \tag 2$$

$$\frac{\partial T(x,l)}{\partial y}=\beta (T(x,l)-t) \tag 3$$

wo $t$ wird von der ODE geregelt:

$$\frac{\partial t}{\partial x}+\alpha(t-T(x,l))=0 \tag 4$$

ausgesetzt $t(x=0)=0$. Ich versuche die Trennung von Variablen. Ich habe manipuliert$(4)$ ausdrücken $t$ wie $t=\alpha e^{-\alpha x}\Bigg(\int_0^x e^{\alpha s }T(s,l)\mathrm{d}s\Bigg)$ und ersetzt in $(3)$ beim Auftragen des 3. v

Mein Versuch ist (ich muss Bill Watts hier anerkennen, da ich Methoden angewendet habe, die ich aus seiner Antwort auf MMA SE gelernt habe):

pde = D[T[x, y], x, x] + D[T[x, y], y, y] == 0

(*product form*)
T[x_, y_] = X[x] Y[y]
pde/T[x, y] // Expand
xeq = X''[x]/X[x] == -a^2
DSolve[xeq, X[x], x] // Flatten
X[x_] = X[x] /. % /. {C[1] -> c1, C[2] -> c2}
yeq = Y''[y]/Y[y] == a^2
DSolve[yeq, Y[y], y] // Flatten
Y[y_] = (Y[y] /. % /. {C[1] -> c3, C[2] -> c4})

(*addition form*)
T[x_, y_] = Xp[x] + Yp[y]
xpeq = Xp''[x] == b
DSolve[xpeq, Xp[x], x] // Flatten
Xp[x_] = Xp[x] /. % /. {C[1] -> c5, C[2] -> c6}
ypeq = Yp''[y] + b == 0
DSolve[ypeq, Yp[y], y] // Flatten
Yp[y_] = Yp[y] /. % /. {C[1] -> 0, C[2] -> c7}

T[x_, y_] = X[x] Y[y] + Xp[x] + Yp[y]
pde // FullSimplify

(*Applying the first and second b.c.*)
(D[T[x, y], x] /. x -> 0) == 0
c6 = 0
c2 = 0
c1 = 1

(D[T[x, y], x] /. x -> L) == 0
b = 0
a = (n π)/L
$Assumptions = n ∈ Integers

(*Applying the third b.c.*)
(D[T[x, y], y] /. y -> 0) == γ
c4 = c4 /. Solve[Coefficient[%[[1]], Cos[(π n x)/L]] == 0, c4][[1]]
c7 = c7 /. Solve[c7 == γ, c7][[1]]
T[x, y] // Collect[#, c3] &

(*now splitting T[x,y] into two parts*)
T[x, y] /. n -> 0
T0[x_, y_] = 2 c3 + c5 + y γ /. c5 -> 0
Tn[x_, y_] = T[x, y] - T0[x, y] // Simplify

(*applying the fourth b.c. to each part individually and using orthogonality*)

bcfn0 = (D[T0[x, y], y] /. y -> l) == β (T0[x, l] - α E^(-α x) Integrate[E^(α s) T0[s, l], {s, 0, x}])
Integrate[bcfn0[[1]], {x, 0, L}] == Integrate[bcfn0[[2]], {x, 0, L}]
Solve[%, c3]
c3 = c3 /. %[[1]]

bcfn = (D[Tn[x, y], y] /. y -> l) == β (Tn[x, l] - α E^(-α x) Integrate[E^(α s) Tn[s, l], {s, 0, x}])
Solve[Integrate[bcfn[[1]]*Cos[(n*Pi*x)/L], {x, 0, L}] == Integrate[bcfn[[2]]*Cos[(n*Pi*x)/L], {x, 0, L}], c5];
c5 = c5 /. %[[1]];//FullSimplify
T0[x_, y_] = T0[x, y] // Simplify
Tn[x_, y_] = Tn[x, y] // Simplify

Jetzt deklarieren wir einige Konstanten und kompilieren die Funktionen

α = 62.9/2;
β = 1807/390;
γ = 3091.67/390;
L = 0.060;
l = 0.003;

T[x_, y_, mm_] := T0[x, y] + Sum[Tn[x, y], {n, 1, mm}]

Plot[{Evaluate[T[x, 0, 10]], Evaluate[T[x, l/2, 10]], Evaluate[T[x, l, 10]]}, {x, 0, L}]

Die Plotergebnisse sind äußerst vieldeutig. Die Lösung konvergiert nicht einmal (wenn ich die Anzahl der Begriffe erhöhe, steigt der TWert weiter an). Ich kann nicht herausfinden, was ich falsch gemacht habe. Da die $ T $ -Ergebnisse vollständig aus sind, habe ich $ t $ nicht berechnet . Ich kann nicht herausfinden, was ich falsch gemacht habe.

Answer 1

Ich kann das Problem beheben n, dass Ihre Lösung mit zunehmender Anzahl zunimmt , aber das gibt Ihnen keine Lösung. Anstatt Ihre gesamte Lösung zu kopieren, werde ich dort beginnen, wo das Problem meiner Meinung nach beginnt.

Du hast

T0[x_, y_] = 2 c3 + c5 + y γ /. c5 -> 0

Ändern Sie das in

T0[x_, y_] = 2 c3 + c5 + y γ /. c3 -> 0
(*c5 + γ y*)

Dann

Tn[x_, y_] = T[x, y] - T0[x, y] // FullSimplify
(*2 c3 Cos[(π n x)/L] Cosh[(π n y)/L]*)

In Ihrem Fall hatten Sie einen zusätzlichen konstanten Term, c5mit Tndem für jeden Term in Ihrer Summe hinzugefügt wurde, weshalb Ihre Lösung mit jedem Term zunahm. In meinem Fall trage ich c5als konstanten Begriff, aber nur mit T0. Die folgenden Änderungen erfordern das Ändern des Lösens c5mit bcf0und des Lösens c3mit bcfn.

Dieses nächste Problem, das ich fürchte, ist bei der Berechnung von unüberwindbar bcfn0.

bcfn0 = (D[T0[x, y], y] /. y -> l) == β (T0[x, l] - α E^(-α x) Integrate[E^(α s) T0[s, l], {s, 0, x}]) // FullSimplify
(*γ E^(α x) == β (c5 + γ l)*)

Wenn man dieses Ergebnis untersucht, ist es offensichtlich, dass es keinen konstanten Wert geben c5kann, um diese Gleichung zu erfüllen.

Darüber hinaus wird mit dem neuen Tndie Orthogonalitätsgleichung ergeben c3 = 0. Dies bedeutet, Tdass keine xAbhängigkeit besteht, was sinnvoll ist, wenn Sie darüber nachdenken T, Laplace-Gleichung zu erfüllen und xAbleitungen gleich Null an beiden Enden in der xRichtung zu haben.

Wenn Tes keine xAbhängigkeit gibt, können seine Ableitungen auch keine xAbhängigkeit haben, aber mit der yAbleitung von Tabhängig davon, twelche xAbhängigkeit hat, haben wir ein Problem.