Lösen eines Eigenwertproblems mit einem linearen Differentialoperator 4. Ordnung
Funktion $\phi_n$ erfüllt die Differentialgleichung dieser Form
$$\mathcal{L}_z\phi_n=-\nu \frac{\mathrm{d}^4 \phi_n}{\mathrm{d} z^4}-\frac{\mathrm{d}^2 \phi_n}{\mathrm{d} z^2}=\mu_n \phi_n, \quad n=1,2,...,\infty \quad (1)$$
wo der Parameter $\nu>0$ und $z\in[-\pi,\pi]$, $\phi_n$ bezeichnet eine Eigenfunktion und $\mu_n$ bezeichnet einen Eigenwert, vorbehaltlich $4$ periodische Randbedingungen
$$\frac{\mathrm{d}^j \phi_n}{\mathrm{d} z^j}(-\pi)=\frac{\mathrm{d}^j \phi_n}{\mathrm{d} z^j}(\pi), \quad j=0,1,2,3 \quad (2)$$
Ich kann eine einfachere Version des Eigenwertproblems lösen, das heißt,
$$\frac{\mathrm{d}^2 \phi_n}{\mathrm{d} z^2}=\mu_n \phi_n, \quad n=1,2,...,\infty \quad (3)$$
vorbehaltlich 2 Randbedingungen
$$\frac{\mathrm{d}^j \phi_n}{\mathrm{d} z^j}(-\pi)=\frac{\mathrm{d}^j \phi_n}{\mathrm{d} z^j}(\pi), \quad j=0,1 \quad (4)$$
wo der Eigenwert $\mu_n$ ist eine echte Konstante.
Um das Eigenwertproblem (3) und (4) zu lösen, lassen Sie zunächst $\mu_n=-\lambda_n^2$ist die charakteristische Gleichung von (3) $r^2+\lambda_n^2=0$, deren Wurzeln sind $r=\pm \mathrm{i}\lambda_n$. Dann hat (3) die allgemeine Lösung$\phi_n(z)=a \sin\lambda_n z+b\cos\lambda_n z$ mit konstant $a$ und $b$. Durch Anwenden der Randbedingungen (4) wird das Paar algebraischer Gleichungen für$a$ und $b$ kann geschrieben werden als
$$ \left[ \begin{array}{cc} \sin\lambda_n\pi&0\\ 0&\lambda_n\sin\lambda_n\pi \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} a\\ b \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array} \right] $$
Damit es nicht triviale Lösungen für diesen Satz von Gleichungen gibt $a$ und $b$muss die Determinante der Koeffizientenmatrix Null sein, d. h. $\lambda_n\sin^2\lambda_n\pi=0$, der die Werte von bestimmt $\lambda_n$. Es ist$\lambda_n=0$ oder $\sin\lambda_n\pi=0$. Die Wurzeln des letzteren sind$\lambda_n=n$, wo $n=0, \pm1, \pm2, ...$. Die resultierenden Eigenfunktionen sind$\phi_0=b$ entsprechend dem Eigenwert $\mu_0=0$ und $\phi_n(z)=a \sin n z+b\cos n z$ entsprechend dem Eigenwert $\mu_n=-n^2=-1,-4,-9,...$, in welchem $\mu_0=0$ hat eine Vielzahl von zwei.
Frage: Ich habe Schwierigkeiten, das Problem mit einem Differentialoperator höherer Ordnung zu lösen, beispielsweise der 4. Ordnung in meinem Problem der Gleichungen (1) und (2), in denen der Eigenwert ist $\mu_n$ sollte eine komplexe Zahl sein.
Kann mir jemand einige Vorschläge zur Lösung des Eigenwertproblems der Gleichungen (1) und (2) geben? Vielen Dank im Voraus!
Hier ist die Antwort als Referenz:
Die Eigenwerte: $\mu_0=0$ und $\mu_n=-\nu n^4+n^2$ (($\mu_n$ hat eine Vielzahl von zwei)
Die Eigenfunktionen $\psi_0=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, $\phi_n(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin{(nz)}$ und $\psi_n(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos{(nz)}$ mit $n=1,2,...,\infty$.
Antworten
Die Gleichung kann geschrieben werden als $$(\nu D^4+D^2+\mu)\phi=0$$ Seine charakteristischen Wurzeln sind $\pm\alpha$, $\pm\beta$, die in Bezug auf geschrieben werden kann $\nu$ und $\mu$ (und kann komplex sein). $$\alpha^2,\beta^2=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\nu\mu}}{2\nu}$$ Um die periodischen Randbedingungen zu erfüllen, ist es notwendig, dass diese Wurzeln rein imaginär sind, $\alpha=it$, $\beta=is$. (Die Fälle$\alpha^2>0$, $\beta^2\le0$ oder $\alpha^2,\beta^2>0$müssen beseitigt werden, indem gezeigt wird, dass sie die Randbedingungen nicht erfüllen können; Dieser Teil wird hier weggelassen.) Die Lösungen haben daher die Form$$\phi(z)=a\cos(t z)+b\sin(t z)+c\cos(s z)+d\sin(s z)$$ wo $a,b,c,d$sind echte Konstanten. Das Einsetzen der vier Randbedingungen ergibt vier Gleichungen in$a,b,c,d$. $$\begin{pmatrix}0&2\sin(t\pi)&0&2\sin(s\pi)\\ -2t\sin(t\pi)&0&-2s\sin(s\pi)&0\\ 0&-2t^2\sin(t\pi)&0&-2s^2\sin(s\pi)\\ 2t^3\sin(t\pi)&0&2s^3\sin(s\pi)&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=0$$ Für nicht triviale Lösungen (Eigenvektor) muss die Determinante Null sein, und dies gibt die Bedingung für die Eigenwerte an, nämlich (nach Gaußscher Reduktion usw.) $$st\sin^2(s\pi)\sin^2(t\pi)(s^2-t^2)^2=0$$ Also auch nicht $t=0$, $s=0$, $s=t$, $s=-t$, oder $t=n$, oder $s=n$,.
Die ersten beiden implizieren$\mu=0$ mit Eigenfunktion $\phi=constant$;; Die nächsten nicht ganzzahligen Fälle reduzieren sich ebenfalls auf diese.
Die nicht trivialen Fälle sind für $t=n$ oder $s=n$. Dann$$\frac{1-\sqrt{1-4\mu\nu}}{2\nu}=-n^2\implies \mu=-\nu n^4+n^2$$
Bearbeiten: Ich habe gerade festgestellt, dass das Arbeiten vereinfacht werden kann, indem festgestellt wird, dass die charakteristische Gleichung äquivalent zu ist $(D^2+\tfrac{1}{2\nu})^2=\tfrac{1-4\mu\nu}{4\nu^2}$ es reicht also aus, das Eigenwertproblem zu lösen $(D^2+\tfrac{1}{2\nu})\phi=\lambda\phi$.