Lösen $n < e^{6 \sqrt{n}}$

Question

Finden Sie für welche Werte von $n \in \mathbb{N}$ es hält das $$n < e^{6 \sqrt{n}}.$$

Ich habe versucht, die Ungleichung zu nutzen $(1 + x) \leq e^x$, aber daraus kann ich nur herausfinden, dass die Ungleichung gilt $n > 36$. Aber ich muss bekommen$n$ so klein wie möglich.

Ich habe auch die Induktion anprobiert $n$, aber ich blieb im Induktionsschritt stecken. Insbesondere, um das zu zeigen$e^{6\sqrt{n}} + 1 \leq e^{6\sqrt{n+1}}$.

Ich freue mich über jede Hilfe und Anregungen.

Answer 1

Wir haben $e^{3x} > 3x \ge x$ zum $x\ge 0$. Wenden Sie dies auf an$x = \sqrt{n}$ zu bekommen $e^{3\sqrt{n}} > \sqrt{n}$. Quadrieren Sie beide Seiten und Sie haben$e^{6\sqrt{n}} > n$ für alle $n\ge 0$.

Answer 2

(Basierend auf dem Hinweis von user2661923, siehe die obigen Kommentare.)

ich setze $f(x) = e^{6\sqrt{x}} - x$. Die erste Ableitung von$f(x)$ ist $$f'(x) = 3 \frac{e^{6\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - 1.$$

Wir notieren das $f(1) = e^6 - 1 > 0$. Darüber hinaus ist es nicht schwer, dies zu überprüfen$f'(x) > 0$ zum $x \in [1, +\infty)$. So$f$ nimmt weiter zu $[1, +\infty)$ und $f(1) > 0$. Deshalb$f(x) > 0$ für alle $x \in [1, +\infty)$. Das impliziert es$x < e^{6\sqrt{x}}.$

Und meine Frage folgt leicht.

Answer 3

Die Ungleichung gilt für alle Positiven $x$, so effektiv, dass ein Beweis übertrieben erscheint :-)

(Beachte das $0<e^{6\sqrt0}$ und $1<\dfrac6{2\sqrt x}e^{6\sqrt x}$.)

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Oder mit Taylor,

$$n<1+6\sqrt n+18n+\cdots$$