Mankiws Version des Cagan-Modells - brauche Hilfe bei der Interpretation

Question

Um die Mathematik so einfach wie möglich zu halten, setzen wir eine Geldnachfragefunktion, die in den natürlichen Logarithmen aller Variablen linear ist. Die Geldnachfragefunktion ist

$$m_t - p_t = -\gamma(p_{t+1}-p_{t})$$

Dabei ist mt das Protokoll der Geldmenge zum Zeitpunkt t, pt das Protokoll des Preisniveaus zum Zeitpunkt t und γ ein Parameter, der die Empfindlichkeit der Geldnachfrage gegenüber der Inflationsrate bestimmt. Nach der Eigenschaft der Logarithmen ist mt - pt das Protokoll der Echtgeldguthaben, und pt + 1 - pt ist die Inflationsrate zwischen Periode t und Periode t + 1. Diese Gleichung besagt, dass bei einem Anstieg der Inflation um 1 Prozentpunkt die Echtgeldguthaben um γ Prozent sinken.

• Aus Mankiws Macroeconomics Textbook (Anhang, Kapitel 4).

Ich habe Mühe zu verstehen, wie dieser Ausdruck zur fett gedruckten Interpretation führt. Anwenden einiger Ergebnisse dieser Antwort auf dieselbe Frage ( Benötigen Sie eine mathematische Hilfe für das Cagan-Modell in der Makroökonomie ):

$$\ln\left(\frac{m_t}{p_t}\right)=-\gamma \ln\left(\frac{p_{t+1}}{p_t}\right)$$ (Umschreiben des Ausdrucks, um Protokolle einzuschließen)

$$RHS = -\gamma \ln\left(1+\frac{\Delta p_{t+1}}{p_t}\right) \approx -\gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t} $$ $$\text{(using } \ln(1+x) \approx x)$$

Setzen Sie dies nun wieder auf den ersten Ausdruck zurück:

$$\ln\left(\frac{m_t}{p_t}\right) \approx \gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t} \approx \ln\left(1-\gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t}\right) $$ $$ \text{using } \gamma x \approx \ln(1+ \gamma x) $$

$$\frac{m_t}{p_t} \approx 1 - \gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t}$$

Bin ich richtig und / oder in der richtigen Linie? Ich bin mir nicht sicher, wie ich es von hier aus machen soll.

Answer 1

Ich denke, dass Sie es unnötig überdenken. Für jede Beziehung der Form:

$$\ln y = \beta \ln x $$

Die Interpretation des Beta-Koeffizienten ist die folgende $1\%$ Erhöhung der $x$ führt zu $\beta$ $\%$ Erhöhung der $y$. Der mathematische Grund, warum diese Beziehung besteht, wurde bereits beim kreuzvalidierten Stapelaustausch untersucht. Sie können ihn hier , auf dieser Website oder in praktisch jedem ökonometrischen Lehrbuch sehen, da das Protokollprotokoll wichtig ist, sodass ich es nicht unnötig wiederholen werde.

Mankiw definiert Echtgeldguthaben als $M/P$ oder in Protokollen $m-p$Daher ist die linke Seite Ihrer Gleichung per Definition der in Protokollen ausgedrückte Echtgeldsaldobegriff $\ln (M_t/P_t)$. Die Inflation ist per Definition wieder eine Änderung des Preisniveaus in Ihrem Fall, ausgedrückt in Protokollen$\ln(P_{t+1}/P_t)$. Sie können also die Interpretation aus dem vorherigen Absatz direkt anwenden, wie es Mankiw tut.

Darüber hinaus können Sie es tatsächlich auch mit Ihren Berechnungen ableiten. Um genauer zu sein. Wachstumsrate$g$ für Variable $x$ ist gegeben als $g_x= \frac{x_{t+1}-x_t}{x_t}$. Dann wissen wir das:

$$\ln x_{t+1} = \ln ((1+g_x)x_t) \implies \ln x_{t+1} = \ln (1+g_x)+ \ln x_t $$

Dann seit $\ln (1+g_x) \approx g_x$ wir haben:

$$\ln x_{t+1} = g_x + \ln x_t \implies \ln x_{t+1} -\ln x_t =g_x $$

Infolgedessen kann man tatsächlich direkt sagen:

$$\ln(M_t/P_t)=-\gamma \ln(P_{t+1}/P_t) \approx \ln(M_t/P_t)=-\gamma \left( \frac{P_{t+1}-P_t}{P_t} \right)$$

Diese 1 in Ihrem letzten Ausdruck sollte nicht vorhanden sein. In diesem Fall gibt Ihnen die LHS den Prozentsatz der Echtgeldguthaben und die prozentuale Änderung des Preisniveaus (Inflation) der LHS an.