Markov Chain Limit Proof

Question

Erstens, entschuldige mein schlechtes Englisch. Ich habe Probleme, diese Übung zu beweisen (sie stammt aus einigen Notizen, die ich damals an der Universität hatte und die ich nächstes Jahr für meine Meister studiere).

Lassen $X$ sei eine aperiodische irreduzible Markov-Kette im endlichen Zustandsraum $S$. Lassen$\pi$stationäre Maßnahme sein. Annehmen$X$ fing an bei $\pi$. Lassen$a,b \in S$. Zeige, dass:

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X_0=a, X_n=b) = \pi(a)\pi(b)$

Ich habe viele Dinge ausprobiert, einschließlich Kupplungen, kann es aber nicht herausfinden. Irgendwelche Tipps und Hilfe wäre toll. Vielen Dank!

Answer 1

Kannst du nicht einfach schreiben? \begin{align} \mathbb P(X_0 = a, X_n = b) &= P(X_0 = a) P(X_n = b \vert X_0 = a) \\ &= \pi(a) P^n_a(b), \end{align} wo $P^n_a$ ist der $n$-Schrittkern der Markov-Kette begann in $a$und du nimmst das an $X_0$ wird aus gezogen $\pi$. Durch Irreduzibilität und Aperiodizität konvergiert dieser Kernel gegen das stationäre Maß im Grenzbereich, sodass Sie nur erhalten$$ \lim_{n \rightarrow \infty} P^n_a(b) = \pi(b),$$und das Ergebnis folgt. Was vermisse ich?