Martingal Definition Notation

Question

Ich lese Stochastic Calculus von Shreve und bin etwas verwirrt von der Notation, als er zum ersten Mal ein Martingal mit der Definition einführt: $E_n(X_{n+1})=X_n $ Was ich nicht verstehe ist warum $X_n$wird aktiviert. Ich dachte, wenn wir uns auf einen bestimmten Wert beziehen, den eine Zufallsvariable annimmt, würden wir schreiben$x$ im Gegensatz zu $X$. Tut das nicht$X_n$ Hier wird auf einen bekannten Wert zum Zeitpunkt verwiesen $n$?

Answer 1

Sie müssen selbst klarstellen, was die Notation hier bedeutet. Der Betreiber$\mathbb{E}_{n}$ ist eine Abkürzung für eine bedingte Erwartung, wenn man eine Sigma-Algebra sagt $\mathcal{F}_{n}$ einer Filtration $\lbrace \mathcal{F}_{n}\rbrace_{n\ge 1}$dh \ begin {Gleichung} \ mathbb {E} _ {n} [X]: = \ mathbb {E} [X | \ mathcal {F} _ {n}]. \ end {Gleichung} Und dieser Typ ist nicht deterministisch, sondern zufällig! Es ist nämlich die Zufallsvariable, die sich gegen alle integriert$\mathcal{F}_{n}$-Messbare Zufallsvariablen auf die gleiche Weise wie $X$tut. Jetzt$\mathbb{E}_{n}[X_{n+1}]$ Da Sie zufällig sind, sollten Sie weniger überrascht sein $X_{n}$(was zufällig ist) wird auf der rechten Seite Ihrer Gleichung großgeschrieben. Es ist eine Identität zwischen zwei Zufallsvariablen (die übrigens nur darum gebeten wird, wahr zu sein$\mathbb{P}$-fast sicher).