$\mathbb N$ ist ein Feld
Wir finden eine Bijektion $\phi$ zwischen $\mathbb N$ und $\mathbb Q$. Definieren Sie also Addition und Multiplikation entsprechend weiter$\mathbb N$ (so dass $\phi$ wird ein Homomorphismus) transformiert $\mathbb N$ in ein Feld.
Gibt es einen Fehler in meiner Argumentation?
Antworten
Ein Feld ist nicht nur eine Menge , sondern eine Menge zusammen mit einer zusätzlichen Struktur (die beiden Feldoperationen). Das stimmt also nicht ganz$\mathbb{Q}$ ist ein Feld - eher, $(\mathbb{Q};+,\times)$ ist ein Feld.
Bijektionen lassen uns "Transportstruktur": wenn $\oplus,\otimes$ sind binäre Operationen auf einem Satz $A$ so dass $(A;\oplus,\otimes)$ ist ein Feld und $f:A\rightarrow B$ist eine Bijektion, die wir geben können$B$die Struktur eines Feldes auf natürliche Weise: Betrachten Sie die Operationen$\hat{\oplus}$ und $\hat{\otimes}$ gegeben durch $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ zum $x,y\in B$. Aber das Set $B$selbst ist kein Feld; vielmehr die Struktur $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ ist ein Feld.
Insbesondere, wenn wir das Übliche heben $+$ und $\times$ entlang Ihrer Lieblingsbijektion $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$Wir bekommen Operationen $\hat{+}$ und $\hat{\times}$ so dass $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$ist ein Feld, aber diese Operationen werden sehr seltsam aussehen - insbesondere werden sie sich völlig von der üblichen Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen unterscheiden, die wir gewohnt sind. Es gibt also keine Spannung zwischen diesem Ergebnis und der Tatsache, dass$(\mathbb{N};+,\times)$ist eindeutig kein Feld.
Es gibt keinen Fehler. Tatsächlich kann jede unendliche Menge in ein Feld umgewandelt werden. Beachten Sie, dass die Operationen, die Sie definieren$\mathbb N$ Dieser Weg unterscheidet sich notwendigerweise von der üblichen Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen (da bei den üblichen Operationen die natürlichen Zahlen kein Feld sind).
Wenn wir die übliche diagonale Abbildung verwenden, aber zwischen positiven und negativen Werten wechseln und die doppelten Darstellungen von "Brüchen nicht in niedrigsten Begriffen" überspringen, können wir die Bijektion haben, deren erste mehrere Begriffe sind:
$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$
Das ist ein Feld. Die additive Identität ist$1$ und $1 + k = k+1 = k$ für alle $k \in \mathbb N$.
Jeder Wert, $k$ hat eine additive Umkehrung, $-k$ so dass $k+(-k)= 1$. Zum Beispiel die additive Inverse von$4$ ist $-4 =5$ und $4+5 = 1$. gleichfalls$-11 = 10$ und $11 + 10 = 1$.
Die multiplikative Identität ist $2$ und $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ für alle $k \in \mathbb N$.
Und für jeden Wert $k$ außer $1$wird eine multiplikative Inverse haben $\frac 1k$ wo $k\cdot \frac 1k = 2$. Zum Beispiel$\frac 14 = 6$ und $4\cdot 6 = 2$.
Und so weiter.
Dies alles macht Sinn, weil ich nur die "üblichen" rationalen Zahlen durch die darin enthaltenen Mapps ersetzt habe. Wenn ich mir Notizen mache$k \color{blue}{\mapsto m}$ zu repräsentieren, was ich "wirklich" meine und auszuschneiden und einzufügen, was ich oben geschrieben habe, wäre:
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Das ist ein Feld. Die additive Identität ist$1\color{blue}{\mapsto 0}$ und $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ für alle $k \in \mathbb N$.
Jeder Wert, $k$ hat eine additive Umkehrung, $-k$ so dass $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Zum Beispiel die additive Inverse von$4\color{blue}{\mapsto 2}$ ist $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ und $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$. gleichfalls$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ und $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$.
Die multiplikative Identität ist $2\color{blue}{\mapsto 1}$ und $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ für alle $k \in \mathbb N$.
Und für jeden Wert $k$ außer $1\color{blue}{\mapsto 0}$wird eine multiplikative Inverse haben $\frac 1k$ wo $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$. Zum Beispiel$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ und $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$.
Und so weiter.