Maximaler Eigenwert der blockpartitionierten Matrix
Ich habe eine Matrix, die wie folgt in 4 Blöcke unterteilt werden kann:
$$B = \left[\begin{matrix}A^{H}A + \gamma &A^{H}F \\ F^{H}A & FF^H\end{matrix}\right]$$
wo die Blöcke $\in \mathbb{C}^{N \times N}, \mathbb{C}^{N \times M}, \mathbb{C}^{M \times N}$, und $\mathbb{C}^{M \times M}$ jeweils und $\gamma$ist eine Konstante. Darüber hinaus ist die Matrix$F$ ist eine Blockdiagonalmatrix, die hat $k$ DFT-Matrizen entlang ihrer Diagonale, so dass der letzte Block die skalierte Identitätsmatrix ist $mI_{M}$ wo $m$ ist die DFT-Größe ($k \times m=M$).
Ich bin daran interessiert, den maximalen Eigenwert der Matrix zu finden $B$(Wird als Schrittgröße für den Gradientenabstiegsalgorithmus verwendet). Um die Komplexität zu verringern, hatte ich die Intuition, dass sie durch den maximalen Eigenwert des ersten Blocks angenähert werden könnte$A^{H}A +\gamma$was durch Simulationen als wahr befunden wurde. Ich habe versucht, eine solche Beziehung zu formulieren und zu beweisen, aber es ist mir bisher nicht gelungen.
Dementsprechend versuche ich zu beweisen: $$ \lambda_{\max}(B) \approx \lambda_{\max}(A^{H}A +\gamma)$$
Ich dachte darüber nach, es auf zwei Arten anzugehen:
Verwenden der Identität 3.1 von dieser Seite , seit$FF^{H}$ ist invertierbar, habe ich das charakteristische Polynom geschrieben:
\begin{aligned} \mathbb{det}(\lambda I_{N+M} - B) & = \mathbb{det}(\lambda I_M - FF^{H})\times \mathbb{det}((\lambda I_N - (A^{H}A +\gamma)) - (A^HF) (\lambda I_M - FF^H)^{-1} (F^HA)) \\ & = \mathbb{det}(\lambda I_M - m I_M)\times \mathbb{det} ((\lambda I_N - (A^{H}A +\gamma)) - (A^HF) (\lambda I_M - mI_M)^{-1} (F^HA))\\ & = (\lambda - m)^M\times \mathbb{det} ((\lambda I_N - (A^{H}A +\gamma)) - m(\lambda - m)^{-1}(A^HA)) \end{aligned}Die Passagen, die ich nach der letzten zu schreiben versuchte, scheinen die Ableitung nicht zu vereinfachen, also würde ich hier aufhören. Aus der letzten Zeile können wir das sagen$\lambda_{max}(B)$ ist das Maximum zwischen $m$ und die maximale Wurzel des bestimmenden Begriffs, die ich nicht mehr so vereinfachen kann, dass ich sie mit dem Begriff vergleichen kann$ \mathbb{det}(\lambda I_N -(A^{H}A +\gamma)$ ist das charakteristische Polynom für den ersten Block.
Matrix neu anordnen $B$:: $$B = \left[\begin{matrix}A^{H}A + \gamma &\mathrm{0} \\ \mathrm{0} & FF^H\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}\mathrm{0} &A^{H}F \\ F^{H}A & \mathrm{0}\end{matrix}\right] = B1 + B2 $$
und unter Berücksichtigung der zweiten nicht diagonalen Matrix $B2$ als Störung der ersten Matrix $B1$. In diesem Fall kann ich sagen:$$\lambda_{\max}(B) = \lambda_{\max}(B1) \pm \epsilon$$ wo: $$\lambda_{\max}(B1) = \max(\lambda_{\max}(A^{H}A +\gamma),m)$$ und $\epsilon$ ist der Störungsfehler.
Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob die Annahme gültig ist, da die Elemente von B2 nicht als klein angesehen werden können. Außerdem weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll, um zu finden$\epsilon$ (Fehler aufgrund einer Störung am $\lambda_{\max}$) und die meisten Seiten und Papiere, die ich gefunden habe, haben nicht geholfen.
Die letzte Frage, wenn sich herausstellen würde, dass eine solche Beziehung besteht, wäre es möglich, einige Einschränkungen abzuleiten $\gamma$das macht es gültig? möglicherweise auf$N$ und $M$ auch?
Jeder Kommentar oder Hinweis wäre sehr dankbar.
Antworten
Ich fürchte, was Sie beweisen wollen $\lambda_{\text{max}}\approx \lambda_{\text{max}}(A^*A+\gamma)$kann im Allgemeinen nicht halten. Glücklicherweise$FF^*=F^*F$
ich nehme an $\gamma=0$ Letzteres seit der Blockmatrix $B_{\gamma}$ ist positiv semi-definit (zu sehen) $\lambda_{\text{max}}(B_{\gamma})\ge \lambda_{\text{max}}(B_{0})$ wann $\gamma\ge 0$ (Eine Annäherung ist hier schwierig)
Also dafür $B_0$ wenn $X=\begin{pmatrix}A&F\\0&0\end{pmatrix}$ $B_0=X^*X$ und wenn man auch davon ausgeht, dass die Dimensionen $N=M$, (Sie können den Block abschließen $A$ oder blockieren $F$ durch Nullen) haben Sie $$\lambda_{\text{max}}(B_{0})=\lambda_{\text{max}}(X^*X)=\lambda_{\text{max}}(XX^*)=\lambda_{\text{max}}(AA^*+FF^*)$$