Meromorphe Differentiale und der Pullback.
In Diamond & Shurmans A First Course in Modular Forms, Abschnitt 3.3, behandeln die Autoren sogenannte "meromorphe Differentiale" naiv. Es scheint, dass die Räume, die sie bezeichnen$\Omega^{\otimes n}(X)$ ist wirklich das $n^{\text{th}}$ Symmetrische Kraft sogenannter meromorpher Differentiale, bezeichnet $\Omega^1(X)$.
Hier ist meine erste Frage. Was ist$\Omega^1(X)$? Diese Frage hat die Antwort "Es ist ein Abschnitt der n-ten symmetrischen Kraft des Bündels meromorpher Differentiale", aber für mich wirft dies einfach die Frage auf. Was sind meromorphe Unterschiede?
Ich glaube ich weiß was $\Omega^1_{\text{hol}}(X)$ (holomorphe Differentiale) ist, es sollte genauso definiert werden wie glatte Differentiale für reale Mannigfaltigkeiten, das heißt $\Omega^1_{\text{hol}}(X)$ ist einfach Abschnitte des Kotangensbündels.
Nun zum Pullback. Vor Ort definieren die Autoren den Pullback wie folgt: if$\varphi:V_1\to V_2$ ist eine holomorphe Abbildung offener Teilmengen von $\mathbb C$. Dann$$\varphi^*(f(q_2)(dq_2)^n)=f(\varphi(q_1))(\varphi'(q_1))^n(dq_1)^n.$$
Ich möchte dies im Zusammenhang mit der Differentialgeometrie verstehen. Mein Verständnis (zugegebenermaßen fast ausschließlich für echte Mannigfaltigkeiten) ist, dass wenn$\varphi:X\to Y$ ist eine holomorphe Abbildung von Riemann-Oberflächen, dem Pullback $\varphi$ auf $\operatorname{Sym}^n\Omega^1(Y)$ an einem Punkt $P\in X$ ist $$\varphi^*_P(\omega_1\cdots\omega_n)(X_1,\dots,X_n):=\omega_1(\varphi_{*,P}X_1)\cdots\omega_n(\varphi_{*,P}X_n)$$ wo nebeneinander $\omega\eta$ bezeichnet das symmetrische Produkt, $\varphi_{*,P}$ bezeichnet den Push-Forward und $\frac{1}{2}(\omega\otimes\eta+\eta\otimes\omega)$ und $X_1,\dots,X_n\in T_PX$.
Hier ist meine zweite Frage, die etwas von der ersten abhängt.
Wie kann ich den lokalen Ausdruck von Diamond und Shurman aus dem differentiell-geometrischen Ausdruck wiederherstellen? Drücke ich die naive Definition überhaupt richtig in der Sprache der Mannigfaltigkeiten aus?
Bisher habe ich Vektorbündel nur im Kontext differenzierbarer Mannigfaltigkeiten untersucht. Ich hoffe, (sehr bald) mit dem Studium quasi-kohärenter Garben beginnen zu können, aber ich verstehe diesen Rahmen noch nicht. Bitte antworten Sie im Kontext realer und komplexer Mannigfaltigkeiten und Bündel, obwohl einige Hinweise darauf, wie dies auch für umkehrbare Garben funktioniert, dies auch tun würden werde geschätzt, da ich das etwas später verstehen sollte.
Antworten
Lassen Sie mich auf den obigen Kommentar näher eingehen und ihn in eine Antwort umwandeln. Es gibt viele Möglichkeiten, meromorphe Differentiale zu definieren, von denen die einfachste "rationale Abschnitte des Kotangensbündels" sind. Genauer gesagt, wenn$V \subseteq X$ ist eine offene Teilmenge und $U \subseteq V$ ist so, dass $V \setminus U$ besteht also aus isolierten Punkten $\omega \in \Omega^1_{hol}(U)$ ist ein meromorphes Differential auf $V$ wenn es Stangen hat $V \setminus U$. Alternativ könnte man einfach eine meromorphe Differentialform auf definieren$V$ Verwenden von Diagrammen - Definieren von meromorphen Differentialformen auf $\mathbb{C}$ wie $ f(q) dq$ mit $f$ meromorph und sag das $\omega$ ist eine Differenzform auf $V$ wenn für irgendein Diagramm $\phi : W \rightarrow V \subseteq \mathbb{C}$, $\phi^{*} \omega$ist meromorph. Dies ist der Ansatz von Diamond und Shurman.
Der angegebene Raum $\Omega^{\otimes n}(X)$ ist nicht der $n$-th symmetrische Kraft, aber die $n$-te Tensorleistung. Wenn wir zwei Linienbündel haben, können wir sietensorisieren, um ein neues Linienbündel zu erhalten. Wir machen das$n$Zeiten für das Linienbündel meromorpher Differentiale. In expliziterer Notation$$ (dq)^n = (dq)^{\otimes n} = (dq)\otimes \ldots \otimes (dq) $$ Wenn $\varphi : X \rightarrow Y$ ist holomorph, dann befriedigt das Zurückziehen $$ \varphi^*(\omega_1 \otimes \ldots \otimes \omega_n) = \varphi^*(\omega_1) \otimes \ldots \otimes \varphi^*(\omega_n) $$ und wir erhalten \begin{align*} \varphi^*(f(q_2)(dq_2)^{\otimes n}) &= \varphi^*(f(q_2)dq_2) \otimes (\varphi^*(dq_2))^{\otimes n-1} \\ &= (f(\varphi(q_1)) \varphi'(q_1) dq_1) \otimes (\varphi'(q_1)dq_1)^{\otimes n-1} \\ &= f(\varphi(q_1))(\varphi'(q_1))^n (dq_1)^{\otimes n} \end{align*} Hier haben wir die Kettenregel verwendet, um jedes Differential zurückzuziehen.