Modularität der Ramanujan-Sato-Serie

Question

Die Ramanujan-Sato-Serie $$j^*(\tau)=432\frac{\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728}}{\sqrt{ j(\tau)}-\sqrt{j(\tau)-1728}}=432\frac{E_4(\tau)^{\frac32}+E_6(\tau)}{E_4(\tau)^{\frac32}-E_6(\tau)} \\ = \frac{1}{q}-120+10260 q-901120 q^2+91676610 q^3+\mathcal O\left(q^{4}\right)$$ von Stufe 1 verallgemeinert Ramanujans Formel für $\frac1\pi$, wo $q=e^{2\pi i\tau}$. Hier,$j$ ist der Klein $j$-invariante und $E_k$sind die Eisenstein-Serie. Aufgrund der Quadratwurzeln scheint es nicht sofort eine modulare Funktion für eine Kongruenz-Untergruppe von zu sein$SL(2,\mathbb Z)$. Da es sich jedoch um den Klein handelt$j$-invariant von $$j=\frac{(j^*+432)^2}{j^*},$$ es scheint eine modulare Polynomgleichung in zu erfüllen $j$ Grad $2$, vorschlagen, dass $j^*$ ist modular für eine Index 2-Untergruppe von $SL(2,\mathbb Z)$. Ist das wahr? Und was wäre die Invarianzgruppe?

Jede Empfehlung zur Literatur wäre sehr hilfreich, vielen Dank!

Answer 1

Es ist $$j^*(\tau)= 432\frac{(\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728})^2}{1728}=432\frac{2 j(\tau)-1728+2\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}}{1728}$$ Wir betrachten also die Modularität von $$\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$$

$j(\tau)-1728$ ist holomorph ungleich Null bei $e^{2i\pi /3}$ während $j(\tau)$ hat eine Null der Ordnung $3$ (nicht $6$!!!) beim $e^{2i\pi /3}$also $\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$ und daher $j^*(\tau)$ habe einen Verzweigungspunkt bei $e^{2i\pi/3}$Sie sind nicht modular aufgebaut.

Sie sind jedoch auf einer doppelten Abdeckung der modularen Kurve automorph.

Beachten Sie, dass $f(\tau)=\sqrt{j(\tau)-1728}$ ist holomorph, weil die einzigen Nullen von $j(\tau)-1728$ sind doppelt bei $SL_2(\Bbb{Z})i$. Es ist$2$-periodisch und $f(\gamma(\tau))=\chi(\gamma)f(\tau)$ wo $\chi$ ist der Charakter $SL_2(\Bbb{Z})\to \pm 1$ definiert von $\chi(\pmatrix{1&1\\0&1})=\chi(\pmatrix{0&1\\-1&0})=-1$ welche Faktoren durch $SL_2(\Bbb{Z/2Z})$, eigentlich $\ker(\chi)$ sind die Matrizen, deren Reduktion $\bmod 2$ ist $\pmatrix{1&0\\0&1},\pmatrix{1&1\\1&0},\pmatrix{0&1\\1&1}$.