Morries Gesetz mit Sinus

Question

Es ist zwar trivial zu beweisen $\prod_{k=0}^{n-1}\cos(2^kx)=\frac{\sin(2^nx)}{2^n\sin x}$Wikipedia bezieht sich auf eine "ähnliche" Identität $\sin\tfrac{\pi}{9}\sin\tfrac{2\pi}{9}\sin\tfrac{4\pi}{9}=\frac{\sqrt{3}}{8}$. Wie verallgemeinert sich dies zu einem Ergebnis für$\prod_{k=0}^{n-1}\sin(2^kx)$? Wenn dies nicht gelingt, wie beweisen wir diesen Sonderfall?

Answer 1

Ich kann Ihnen einen Beweis für die ähnliche Identität zeigen, aber ich kenne keine allgemeine Formel für $\prod_{k=0}^{n-1}\sin(2^kx)$.

Laut Showing$\sin{\frac{\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{2\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{3\pi}{13}} \cdots \sin{\frac{6\pi}{13}} = \frac{\sqrt{13}}{64}$, wir haben das $$\prod _{k=1}^{n-1}\,\sin \left({\frac {k\pi }{n}} \right)=\frac{n}{2^{n-1}} .$$ Zum $n=9$Aus Symmetriegründen haben wir das $$\left(\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{9}}\right)\right)^2\underbrace{\sin^2\left({\frac {\pi }{3}}\right)}_{3/4}=\prod _{k=1}^{8}\,\sin \left({\frac {k\pi }{9}} \right)=\frac{9}{256} $$ und daraus folgt $$\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{9}}\right)=\sqrt{\frac{3}{64}}=\frac{\sqrt{3}}{8}.$$ In ähnlicher Weise z $n=7$das zeigen wir $$\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{7}}\right)=\frac{\sqrt7}{8}.$$