Multiplikative Inverse des Beweises komplexer Zahlen

Question

Ich habe kürzlich versucht zu zeigen, dass die multiplikative Inverse für komplexe Zahlen existiert, und sie in komplexer Form wie folgt ausgedrückt:

Annehmen $z = a + bi$ist eine komplexe Zahl ungleich Null. Zeige, dass$z$ hat eine multiplikative Inverse und drückt sie in der Form aus $c + di$.

Lassen $z^{-1}$ bezeichnen die multiplikative Inverse von Z. Dann gilt:

$$z^{-1}z = 1 = zz^{-1}$$

$$\implies z^{-1}(a+bi) = 1 = (a+bi)z^{-1}$$

So,

$$z^{-1} = \frac{1}{a+bi}$$

Multiplizieren von Zähler und Nenner mit dem Konjugat:

$$z^{-1} = \frac{a-bi}{a^2 + b^2}$$

$$z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - i(\frac{b}{a^2 + b^2})$$

Somit für alle komplexen Zahlen ungleich Null $z$gibt es eine multiplikative Inverse, $z^{-1}$, wo $z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - i(\frac{b}{a^2 + b^2})$

QED.

Mir wurde jedoch gesagt, dass dieser Beweis zirkulär ist, weil ich angenommen habe, dass das Gegenteil existiert. Wie kann ich das korrigieren?

Antworten werden sehr geschätzt.

Answer 1

Was Sie getan haben, ist nützlich, aber kein Beweis. Überprüfen Sie dies jetzt einfach$$(a+bi)(\frac{a}{a^2 + b^2} - i(\frac{b}{a^2 + b^2}))$$ $$=(\frac{a}{a^2 + b^2} - i(\frac{b}{a^2 + b^2}))(a+bi)=1$$ durch direkte Berechnung.

Answer 2

Zeigen Sie nur, dass die "erweiterte" Form der Inversen die Eigenschaften der multiplikativen Inversen erfüllt, ohne die Existenz der Inversen selbst anzunehmen. Dies vermeidet Zirkularität. Das finden$$\frac{1}{a + bi} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$$ ist die "Kratzarbeit" des Beweises, den Sie beim formellen Schreiben nicht zeigen.

Answer 3

Es gibt ein paar Dinge falsch. Eine sehr subtile.

Erstens haben wir überhaupt keine Ahnung, was für eine Nummer die Form hat $\frac 1{a+bi}$sogar bedeutet . Wir haben nur eine geschrieben$1$ lege einen Balken darunter und schreibe $a+bi$unter dem. Wir können uns irgendwie Regeln ausdenken$\frac {a+bi}{c+di}$(was auch immer das bedeutet ) wenn aber multipliziert$\frac {e+fi}{g+hi}$ wird gleich sein $\frac {(a+bi)(e+fi)}{(c+di)(g+hi)}$aber das hat nichts zu bedeuten .

Das müssen wir definieren $\frac 1z$ muss eine komplexe Zahl bedeuten $w$ so dass $z \cdot w = 1$(unter der Annahme, dass es eine solche Zahl gibt und dass sie eindeutig ist; von denen wir keinen Grund haben anzunehmen). Und selbst wenn wir tun annehmen , dass es eine ist$w$ so dass $w(a+bi) =1$und wir schreiben es als$w=\frac 1{a+bi}$ und wenn ja $v$ so dass $v(c+di) = 1$ damit wir schreiben können $v=\frac 1{c+di}$ Wir haben keinen Grund, das zu glauben $wv = \frac 1{a+bi}\cdot \frac 1{c+di}$ dass das tatsächlich gleich sein wird $\frac 1{(a+bi)(c+di)}$. (Obwohl wir das beweisen können .)

Wie auch immer .....

So lange wie $z=a+bi = 0 \iff a^2 + b^2 = 0$dann das tut exist ein$w= \frac a{a^2 + b^2} -i\frac b{a^2 + b^2}$und es ist wahr, dass$(a+bi)(\frac a{a^2 + b^2} -i\frac b{a^2 + b^2}) = (a\cdot \frac 1{a^2+b^2} + b\frac 1{a^2 + b^2}) + i(a \frac b{a^2+b^2} - b\frac a{a^2+b^2}) = \frac {a^2 + b^2}{a^2 + b^2} + i(\frac {ab}{a^2+b^2} - \frac {ab}{a^2 + b^2}) = 1$

So eine inverse nicht existieren. Wir müssen aber auch beweisen, dass es einzigartig ist. So wie ich es jetzt machen würde, würde ich einfach eine Gleichung aufstellen$(a+bi)(c+di) =1$ und lösen für $c$ und $d$ und zeigen, dass die Lösung einzigartig ist ... aber dafür ist es etwas zu spät!

Ich würde aber sagen, wenn $(a+bi)(c+di) =1$ und $(a+bi)(e+fi)=1$ dann $c+di = (c+di)\cdot 1 = (c+di)\cdot (a+bi)(e+fi)= [(c+di)(a+bi)](e+fi)= 1(e+fi) = e+fi$. Es gibt also nur eine mögliche Lösung und wir wissen es $\frac a{a^2 + b^2} -i\frac b{a^2 + b^2}$ ist eine Lösung, also die einzige Lösung.