Normale multivariate Verteilung mit z Punktzahl Null

Question

Lassen $X_1,\ldots,X_n$ und $Y_1,\ldots,Y_m$ voneinander unabhängige Zufallsvariablen sein.

Jeder $X_i$ in der Reihenfolge $X_1,X_2,..,X_n$ hat die Normalverteilung $X_i$~$N(\mu,\sigma_1^2)$ und ist eine unabhängige Zufallsvariable und wir haben jede $Y_j$ in der Reihenfolge $Y_1,Y_2,...,Y_m$ hat die Normalverteilung $Y_J$~$N(\mu,\sigma_2^2)$ und ist für einige eine unabhängige Zufallsvariable $\mu \in$R und

$\sigma_1^2>0$ und $\sigma_2^2>0$

$\tilde{X}=n^{-1}(X_1+X_2+...+X_n)$ und wir haben $\tilde{Y}=(m)^{-1}(Y_1+Y_2+...+Y_m)$

Und $Z:=(\tilde{X},\tilde{Y})$

Finden $P(\tilde{X}<=\tilde{Y})$

Um dies zu tun, würden Sie es tun $P(\tilde{X}-\tilde{Y}<=0)$ Und so haben wir $E(X-Y)=E(X)-E(Y)=\mu-\mu=0$

und wir haben VAR (X + Y) =$\sigma_1^2/n+\sigma_2^2/m$

Dann ist die Null $\frac{0-0}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}=0$ also dann $P(Z<0)=1/2$ Aber ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist.

Answer 1

Schon seit $X_1, \dots, X_n$ sind iid $\text{normal}(\mu, \sigma_1^2)$ und $Y_1, \dots, Y_m$ sind iid $\text{normal}(\mu, \sigma_2^2)$, $$\overline{X} \sim \text{normal}\bigg(\mu, \frac{\sigma_1^2}{n}\bigg) \quad \text{and} \quad \overline{Y} \sim \text{normal}\bigg(\mu, \frac{\sigma_2^2}{m}\bigg).$$ Seit der $X$sind unabhängig von der $Y$'s, $$\overline{X} - \overline{Y} \sim \text{normal}\bigg(0, \frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{m}\bigg).$$ Daher, $$\mathbb{P}(\overline{X} - \overline{Y} \leq 0) = \frac{1}{2}.$$