Notation für Ringverlängerung

Question

Wenn $K$ ist eine Felderweiterung eines Feldes $F$ (das ist, $F\subseteq K$), wir schreiben $K/F$. Aber wenn$R$ist eine Ringverlängerung des Rings$S$ (das ist, $S\subseteq R$), was ist die äquivalente Notation? Schreiben wir$R/S$ wie wir es für Felder tun würden oder so etwas $R\supseteq S$ angemessener?

Answer 1

Mir ist keine allgemein akzeptierte Definition einer "Ringverlängerung" ohne weitere Qualifikationsmerkmale bekannt. Wenn Sie über den Fall von Feldern hinausgehen, ist es viel weniger klar, dass "eine Injektion$S \to R$"ist der richtige Begriff für" Ringverlängerung ". Einerseits möchten Sie vielleicht eine beliebige Karte diskutieren $f : S \to R$nicht unbedingt injektiv; gleichwertig möchten Sie vielleicht$R$ willkürlich sein $S$-Algebra. Dies ist die allgemeinste Sache, die Sie verlangen können, und hat schöne kategoriale Eigenschaften. Auf der anderen Seite möchten Sie möglicherweise verschiedene Eigenschaften der Karte benötigen$f$: zum Beispiel, dass es ist

• Integral (das algebraische Erweiterungen verallgemeinert)
• flach (automatisch wenn$S$ ist ein Feld)
• getreu flach (verschiedene schöne Eigenschaften)
• etale (auch sehr schöne Eigenschaften, aber sehr restriktiv)

und viele, viele andere Möglichkeiten. Mir ist auch keine Notation für diese bekannt. Die Leute sagen einfach "lass$f : S \to R$ sein (was auch immer). "(Auch wäre es Standard zu schreiben $f : R \to S$ Hier.)