Null ist immer ein überflüssiges Submodul.

Question

Definition: -1  Ein Submodul$N$ eines Moduls $M$  wird als überflüssig (oder klein) bezeichnet, wenn kein geeignetes Submodul vorhanden ist  $K$ von  $M$ so dass $M=N+K$.

Definition: -2 Jacobson radikal$J(M)$ eines Moduls $M$ ist die Summe aller überflüssigen Submodule von $M$.

Ich habe eine Verwirrung über den trivialen Fall. Es ist klar, dass ein Null-Submodul jedes Nicht-Null-Moduls überflüssig ist. Aber wenn$M=0$ dann $J(M) =0$. Von diesen Vorstellungen denke ich$0$ sollte ein überflüssiges Submodul von sein $0$. Bitte klären Sie meine Zweifel. Ich werde Ihnen sehr dankbar sein.

Answer 1

$0$ ist auch ein überflüssiges Submodul von $M=0$, weil für alle richtigen Submodule $K\subsetneq M$, wir haben $0+K\ne 0$.