Obstgarten Pflanzproblem für Kreise

Question

Das klassische Orchard Pflanzung Problem stellt für die maximale Anzahl von 3-Punkt - Geraden erreichbar von einer Konfiguration$n$ Punkte in einer Ebene gezeichnet.

Hier interessiert uns eine Variante dieses Problems. Was ist die maximale Anzahl von 4-Punkt-Kreisen, die mit einer Konfiguration von 10 Punkten in einer Ebene erreicht werden können? Jeder erreichte Kreis muss mindestens 4 Punkte durchlaufen.

Answer 1

ich kann

$22$::

Weniger ästhetisch ansprechend, aber aufschlussreicher

Die obige Version wurde daraus durch Inversion in einem Kreis erhalten

oder

Die Konstruktion ist wie folgt: zwei konzentrische regelmäßige Pentagone: Dies ergibt $2$ umschriebene Kreise und $5\times 2 \times 2$ symmetrische Trapezoide, die jeweils einen Kreis durch Symmetrie zulassen.

Hier ist ein weniger beschäftigtes Bild - das Ganze wird durch Überlagern aufeinanderfolgender Rotationen von erhalten $72°$ und durch Hinzufügen der beiden Kreise der beiden Fünfecke.

Answer 2

Die folgende Antwort folgt der ausgezeichneten Idee von Deusovi in ​​einem Kommentar zur Frage.

Beginnen Sie mit einer Lösung für das ursprüngliche 9-Baum-Obstgartenproblem mit 10 Zeilen mit 3 Bäumen.

Fügen Sie dann den Punkt im Unendlichen hinzu, um 10 Punkte und 10 Linien mit 4 Punkten zu erhalten, und verwenden Sie eine Möbius-Transformation, um sie alle in Kreise mit 4 Punkten zu ändern.
Insbesondere habe ich Punkte an folgenden Koordinaten verwendet:
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline Point & Original & Transformed \\ \hline A & \infty & (0,0) \\ \hline B & (1,2) & (1/5,-2/5) \\ \hline C & (2,2) & (1/4, -1/4) \\ \hline D & (3,2) & (3/13,-2/13) \\ \hline E & (0,1) & (0,-1) \\ \hline F & (2,1) & (2/5,-1/5) \\ \hline G & (4,1) & (4/17,-1/17) \\ \hline H & (0,3) & (0,-1/3) \\ \hline I & (2,3) & (2/13,-3/13) \\ \hline J & (4,3) & (4/25,-3/25) \\ \hline \end{array}$$
Die letzte Spalte ist die neue Koordinate nach dem $z \to 1/z$ Transformation der komplexen Ebene, die in kartesischen Koordinaten die Karte ist $(x,y) \to (x/s,-y/s)$ wo $s=x^2+y^2$.

Die ursprünglichen zehn Linien werden dann zu den zehn Kreisen ABCD, AEFG, AHIJ, AHBF, AHCG, AIBE, AICF, AIDG, AJCE, AJDF. Ich habe die ursprünglichen Punkte so gewählt, dass keine Linie durch den Ursprung verläuft, um sicherzustellen, dass es sich nach der Transformation eher um Kreise als um gerade Linien handelt (der Ursprung ist dem Punkt im Unendlichen zugeordnet und würde auf jeder geraden Linie enthalten sein).

Die ursprüngliche Anordnung enthält auch die Kreise BDEG, DBHJ, BDIF, EFHI, FGIJ, EGHJ, und sie bleiben nach der Transformation Kreise für insgesamt 16 Kreise .

Answer 3

ich fand

Zwei weitere Lösungen, die 22 Kreise erzeugen, aber eine ganz andere Struktur haben als die zuvor gefundene.

(2,8,2,4) (3,1) (4,4) (3,2) (1,5,1,5) (3,411764706,1,647058824) (2,333333333,2,3333333333) (2,0) (1,692307692,2,461538462) (2,461538462,1,692307692)

(3,076923077,2,384615385) (2,068965517,2,172413793) (0,8,1,4) (0,7) (2,702702703,3,216216216) (2,1) (1,176470588,2,294117647) (1,333333333,3) (2,3) (3,5294117