ODE in Variable $r$

Question

Ich bin sicher, dass dies eine einfache Frage ist, aber ich werde Hilfe brauchen.

Beim Versuch, eine PDE durch Trennung von Variablen zu lösen, stieß ich auf eine ODE.

Ich möchte die folgende ODE lösen: $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

Die Lösung ist $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

Es wird überprüft, wann Sie es anschließen, aber wie erhalten wir die Lösung tatsächlich?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ Schreiben Sie es um als: $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ Lösen Sie es jetzt einfach wie folgt: $$y''+\lambda^2y=0$$ Wo $y=rR(r)$. Es ist nur eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die leicht zu lösen ist.