ODE $y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$

Question

Ich habe folgende ODE:

$$y'+ x\sin (2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$

Ich bin festgefahren, um es in eine lineare Form zu bringen. ich habe es versucht$\sin (2y) = \sin y \cos y $ und dann Teilen der ODE durch $( \cos y ) ^{-1} $. Das brachte mich zu nichts und ich versuchte mich zu teilen$( \sin y )^{-2} $stattdessen. Ich blieb auch stecken. Ich denke, ich muss eine Substitution vornehmen, aber ich weiß nicht, welche.

Vielen Dank.

Answer 1

HINWEIS

$$y'+x\sin(2y)=xe^{-x^2}\cos^2y\\\implies\sec^2y\ y' + 2x\tan y=xe^{-x^2}\ , \text{\{let $\ tan y = t \ impliziert \ sec ^ 2 y \ y '= t'$\}}\\\implies t' +2xt =xe^{-x^2}$$

Answer 2

$$y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ Mal $2x'$ und ersetzen $u=x^2$:: $$2+ 2xx'\sin( 2y) = 2xx' e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ $$2+ u'\sin( 2y) = -( e^{-u})' \cos^2 (y)$$ $$2(\tan y)'+ 2u'\tan( y) = -( e^{-u})' $$ Mal $e^u$:: $$2(e^u\tan y)' = -e^u( e^{-u})' $$ $$2d(e^u\tan y) = -e^ud( e^{-u}) $$ Integrieren. $$\boxed {2e^{x^2}\tan y -x^2=C} $$

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Beachten Sie, dass Sie die DE auch wie folgt umschreiben können: $$(e^{x^2} \tan (y))'=x$$ Und integrieren.