Parabel durch 4 Punkte
In der Ebene sind drei Fixpunkte angegeben.
Zusammen mit den drei angegebenen Fixpunkten lautet die Gleichung der Parabel mit variablem vierten Punkt $(x,y)$ und auch welche geometrischen Eigenschaften der Parabel werden durch den variablen Punkt verändert, der nicht in der von Jean Marie definierten roten Zone liegt?
Lassen Sie mich meine Frage erklären:
Drei Punkte definieren einen Kreis mit einem eindeutigen Umfangsradius . Fünf Punkte bestimmen einen Kegel mit einer einzigartigen Exzentrizität .
Und aus dem gleichen Grund, was ist die einzigartige Eigenschaft einer Parabel durch vier Punkte?
Ich erinnere mich, dass ich die Diskriminante in der Standardform des allgemeinen Kegels auf Null gesetzt habe, um zwei Parabeln zu erhalten $y=\pm \sqrt{ax+b}+(cx+d $) mit 4 Konstanten, konnte aber nicht ohne weiteres zu einer eleganten Form in Bezug auf kommen $(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)$oder wenn möglich als Produkt zweier Faktoren.
Danke im Voraus.
Antworten
Dies kann in das hier behandelte sogenannte "Newtonsche Problem" umformuliert werden: http://www2.washjeff.edu/users/mwoltermann/Dorrie/45.pdf wo gezeigt wird, dass eine Parabel (tatsächlich zwei von ihnen) durch 4 Punkte gehen kann
Bedingung ($C_1$): Die 4 Punkte bilden ein konvexes Viereck.
Infolgedessen lassen Sie $T$sei das "gefüllte" Dreieck, das aus den drei Anfangspunkten besteht. Dann Bedingung ($C_1$) ist äquivalent zu
Bedingung ($C_2$): [Es gibt eine Parabel durch die 3 ersten Punkte und den vierten Punkt] genau dann, wenn sich der vierte Punkt in der komplementären Menge des in der folgenden Abbildung dargestellten verbotenen roten Bereichs befindet (Dreieck) $T$ + $3$ stachelige Regionen).
Abb. 1: Verbotene Bereiche für den vierten Punkt (in rot). _
Bemerkung: Ich bin Oscar Lanzi sehr dankbar, der auf einen meiner Fehler bezüglich des Zustands hingewiesen hat $(C_2)$in einer früheren Formulierung; Darüber hinaus hat er auf den Ausnahmefall hingewiesen, in dem die Punkte ein Parallelogramm bilden: In diesem Fall sind die Parabel (en) in zwei parallele Linien entartet.
$(C_2)$ entspricht der folgenden Bedingung:
Bedingung $(C_3)$: Die Schwerpunktkoordinaten des vierten Punktes müssen zwei positive und eine negative Komponente haben.
Als Konsequenz, $(C_3)$ ist äquivalent zu:
Bedingung $(C_4)$: [Es gibt eine Parabel durch die 3 ersten Punkte und den vierten Punkt] genau dann, wenn
$$\dfrac{\begin{vmatrix}x_4&x_2&x_3\\ y_4&y_2&y_3\\1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_1&x_4&x_3\\ y_1&y_4&y_3\\ 1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_4\\ y_1&y_2&y_4\\ 1&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\ 1&1&1\end{vmatrix}^3}\color{red}{<0}$$
(Exponent 3 kann unterdrückt werden.)
Dies kann in die Form eines symmetrischen Produkts von Determinanten gebracht werden:
$$\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_2&x_3&x_4\\ y_2&y_3&y_4\\ 1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_3&x_4&x_1\\ y_3&y_4&y_1\\ 1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_4&x_1&x_2\\ y_4&y_1&y_2\\ 1&1&1\end{vmatrix}\color{red}{>0}$$
Der Vorzeichenwechsel beruht auf der Tatsache, dass einige Spaltenpaare ausgetauscht wurden, um die Determinanten in die symmetrische Form zu bringen.
Bemerkung zu der oben angegebenen Referenz: M. Woltermann (Washington und Jefferson College) hat eine große Aufgabe übernommen: die Bereitstellung einer digitalen Version des berühmten Buches "Einhundert große Probleme der Mathematik", das 1932 von Heinrich Dörrie in deutscher Sprache veröffentlicht wurde ( intelligent) pflegen . Dies erklärt insbesondere den letzten Satz, in dem eine alternative projektive Methode erwähnt wird, die tatsächlich in der Originalversion des Buches p zu finden ist. 208 n ° 45 hier .
Eine sehr detaillierte Analyse des Newtonschen Problems finden Sie hier .
Abschnitt in Entwicklung : Ich habe versucht, meinen eigenen projektiven Beweis zu entwickeln, indem ich immer die Möglichkeit habe, einer Parabel die folgenden parametrischen Gleichungen zu geben:
$$x=\tfrac{at^2+bt+c}{t-d}, \ \ \ y=\tfrac{et^2+ft+g}{t-d} \tag{1}$$
(ein Hinweis für die Intuition über (1): wann $t=d$hat man den einzigartigen Punkt im Unendlichen der Parabel).
Bitte beachten Sie, dass es gibt $7$ Unbekannte, $a,b,c,d,e,f,g$.
Die Beschränkung eines vierten Punktes auf diese Parabel funktioniert anhand numerischer Beispiele, aber ich habe einige Schwierigkeiten, eine allgemeine Rechtfertigung zu finden.