Parameter einer Beta-Distribution

Question

Ich bin hier auf eine Frage zu den negativen Parametern einer Beta-Distribution gestoßen. Unten ist der Link für diese Frage: Negative Parameter der Beta-Verteilung

Es gibt einen Kommentar, wo die $A$ Parameter = $\frac{m(m−2m^2+m^3−v+mv)}{(m−1)v}$ , und der $B$ Parameter = $\frac{m−2m^2+m^3−v+mv}{v}$

Kann ich fragen, wie ich zu dieser Gleichung komme oder zumindest eine Referenz davon? Ich habe versucht, die in Wikipedia gefundenen a- und b-Parameter zu erläutern, bin jedoch zu einer etwas anderen Antwort gekommen als der genannte Kommentar (Ein Parameter in Wikipedia sollte mit -1 multipliziert werden, um zur gleichen Antwort zu gelangen).

Vielen Dank für deine Hilfe.

Answer 1

Das mag schummeln, aber Sie können Wolfram Alpha die Gleichungen für Sie lösen lassen.

Laut Wolfram Alpha lautet die nicht triviale Antwort \begin{align*} \alpha &= \frac{m}{v}\big(-m^2 + m - v\big) \\ \beta &=\frac{1}{v}\big(m^3 - 2 m^2 + mv + m - v\big) \end{align*} unter der Annahme $m \neq 0$, $v \neq 0$ und $m^3 - 2m^2 + m v + m - v\neq0$.

Hier ist, was die Gleichungen auf einem gleich weit entfernten Gitter erzeugen $[0,1]^2$ zum $(m,v)$::

Die Gleichung für die Varianz kann kompakter geschrieben werden als $$ \beta = \frac{(1-m)[m(1-m)-v]}{v} = \frac{(1-m)}{m}\alpha. $$

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Wir können fragen, welche Kombinationen $(m,v) \in [0,1]^2$führen zu gültigen Parametern für die Beta-Distribution. Dafür müssen wir haben$\alpha$ und $\beta > 0$. Diese beiden Bedingungen sind genau dann erfüllt, wenn\begin{align*} v < m(1-m) \end{align*} Dies zeigt, dass dies außerdem die einzige Bedingung ist, die benötigt wird $m \in (0,1)$.