Periode von N Systemen mit jeweils einer Periode p

Question

Nehmen wir an, Sie haben eine Reihe von Funktionen, Fsodass diese Funktion f1einen Punkt hat p1und so weiter. Wie würde ich vorgehen, um die Zeit tso zu finden, dass alle Funktionen in Fzu Beginn einer neuen Periode um sind t?

Beispiel:

F = {sin(x), sin(2x), sin(0.5x)}
f1 intersects (as multiples of pi): [0, 1, 2, 3, 4]
f2 intersects (as multiples of pi): [0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4]
f3 intersects (as multiples of pi): [0, 2, 4]

The only common intersects are 0 and 4 so the period is 4

Mein erster Gedanke war, das LCM der Perioden zu nehmen, aber wenn die Periode ein realer Wert ist, weiß ich nicht wirklich, wie ich das LCM finden kann.

Gibt es einen Vorschlag, wie dies gelöst werden kann, ohne eine Reihe aller Indizes zu erstellen, die dem Beginn einer Periode entsprechen, und den Schnittpunkt zu erfassen?

Answer 1

Beachten Sie zunächst, dass die Perioden genau dann in einer Reihe stehen, wenn sie rationale Vielfache voneinander sind. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, zum Beispiel wenn die Perioden sind$\alpha q_1,\dots,\alpha q_n$ zum $\alpha \in \mathbb{R}$ und $q_1,\dots,q_n \in \mathbb{Q}$, dann reihen sich alle zur Zeit aneinander $$ \alpha \cdot\text{lcm}(q_1,\dots,q_n)$$ wobei das LCM der rationalen Zahlen wie im obigen Kommentar genommen wird.