Permutation von Mengen
Ich habe eine Frage bezüglich der Permutation von Mengen und es ist:
Problem: Lassen Sie den Probenraum$X$ sei die Menge der Permutationen von $\{1,2,3,4,5\}$, die Permutation $\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\}$ stellt die Objektzuordnung dar, für die $i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ wir haben $n_i=j$ wenn Person $i$ empfängt das Objekt von Person $j$. Außerdem$i\in \{1,2,3,4,5\}$. Wenn wir die Ereignisse definieren:
$$A_i=\{(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)\in X\space |\space n_i=i\}$$
Meine Verwirrungen: Ich verstehe nicht, wie diese Elemente unter den definierten Elementenigenschaften aufgelistet werden sollen, die diese Gruppe beispielsweise im Beispielbereich aufweist$X$, können $n_1=1, n_2=2,n_3=3,n_4=4, n_5=5?$
Wenn nicht, dann die Werte $n_1$, $n_2$, ... können nehmen $n_1=2,3,4,5; n_2=1,3,4,5; ...$ usw. Ein mögliches Element des Probenraums ist also $(2,3,4,5,1)\in X?$.
Aber im Set $A_i,$ Jetzt gibt es eine neue Bedingung, die ist $n_i=i$, das heißt das Set $A_1=\{(1,1,1,1,1)\}?$. Ich bin ein wenig verwirrt über die Definition von$n_i=i$ im Set $A_i,$ und wie viele Elemente $A_1, A_2,...,A_5$enthält. Kann mir jemand helfen, die Elemente des Sets zu erklären oder zu finden$A_i$oder nur ein Beispiel für$ A_1$ und $A_2?$ Ich würde es schätzen.
Antworten
Wenn wir die Definition einer Permutation als bijektive Funktion von einer Menge zu sich selbst verwenden ( anstatt die verwandte Definition von Zeichenfolgen, die jedes Zeichen einmal verwendet, usw. ), haben wir das$A_1$ ist die Menge der Permutationen von $\{1,2,3,4,5\}$ so dass $1$ ist zugeordnet $1$.
Entsprechend wird stattdessen die Definition von Permutationen als Zeichenfolgen verwendet. $A_1$ ist die Menge der Permutationen von $\{1,2,3,4,5\}$ so dass $1$ ist in der ersten Position.
Dies beinhaltet, ist aber nicht beschränkt auf $12345, 13524, 15243,\dots$ und beinhaltet keine Dinge wie $23451$ oder $54321$ schon seit $1$ ist nicht in der ersten Position und enthält auch keine Dinge wie $11111$ oder $67890$ da dies keine Permutationen von sind $\{1,2,3,4,5\}$( Das erste ist keine Permutation, da jedes Zeichen nur genau einmal verwendet werden darf, und das zweite ist fehlgeschlagen, da die verwendeten Zeichen nicht aus dem richtigen Basissatz stammen. Entsprechend war das erste nicht bijektiv und das zweite hatte die falsche Codomäne ).
Es lohnt sich, über Dinge wie zu sprechen $A_1\cap A_2$Das sind jene Permutationen, die gleichzeitig den ersten und den zweiten Term als Fixpunkte haben ... die Dinge wie enthalten$12345, 12543, 12453,\dots$, die erste Position ist notwendigerweise a $1$ und die zweite Position ist notwendigerweise a $2$.
Es lohnt sich auch einen Blick darauf zu werfen $A_1^c$, die Menge der Permutationen, so dass $1$ist kein fester Punkt.
Schließlich ist das Set von erheblicher Bedeutung $A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c\cap A_5^c$, die Menge der Permutationen auf $\{1,2,3,4,5\}$so dass keines der Elemente Fixpunkte sind. Wir nennen eine Permutation ohne Fixpunkte eine Störung .
Was das Zählen betrifft, z $|A_1|, |A_1\cap A_2|\dots$Ansatz direkt mit Produktregel wie gewohnt. Wählen Sie für die Positionen, deren Werte nicht erzwungen werden, das Element aus, das an dieser Position angezeigt wird, und notieren Sie sich, wie viele Optionen Sie zuvor für diese Auswahl gegeben haben. Du hast das$|A_1|=4!$ Das $|A_1\cap A_2|=3!$ und so weiter.
Diese Beobachtungen in Verbindung mit Einschluss-Ausschluss ermöglichen es Ihnen dann sogar, die Anzahl der Störungen zu berechnen. Dies überlasse ich Ihnen, um es selbst zu beenden oder im verlinkten Artikel darüber zu lesen. Ich vermute ziemlich stark, dass die Berechnung der Anzahl der Störungen sogar ein späterer Teil der aktuellen Frage sein kann, an der Sie arbeiten, oder eine Frage, die sehr bald nach Abschluss dieser Frage gestellt werden muss, da sie so eng miteinander verbunden sind.
Nein, beachte das $i$wird außerhalb der Charakterisierung der Menge definiert. Bedeutet, dass$i$ist für jeden Satz festgelegt. Damit$$A_1=\{\color{red}{1},2,3,4,5),(\color{red}{1},2,3,5,4),(\color{red}{1},2,4,3,5),\cdots\}.$$ Beachten Sie auch, dass das Tupel in sein muss $X,$ und $(1,1,1,1,1)$ist keine Permutation.
Es ist nicht klar, ob Sie mit Permutation meinen, dass Sie jedes Element in verwenden müssen$\{1,2,3,4,5\}.$ Wenn ja, werden Sie bekommen $(5-1)!$ als die Anzahl der Elemente in $A_1$ weil du den ersten reparierst und dann hast du $4$ Auswahlmöglichkeiten für die zweite und dann $3$Auswahlmöglichkeiten ...
Wenn Sie Wiederholungen zulassen, haben Sie$5$ Auswahlmöglichkeiten in jedem der verbleibenden $4$ Positionen, so werden Sie am Ende haben $5^4$ Elemente in $A_1.$