Permutationsgruppenprodukt

Question

Lassen$E,F$seien zwei Vektorräume und$\varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}} \to F$a$p$-lineare Karte. Ob$\sigma$ist eine Permutation auf$S_{p}$, dann können wir eine andere definieren$p$-lineare Karte$\sigma \varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}}\to F$von:$$(\sigma \varphi)(x_{1},...,x_{p}) := \varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})$$

Nun, mein Buch sagt, dass wenn$\tau, \sigma$sind zwei Permutationen, dann:$$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$Aber nach meinen Berechnungen:$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$seit$[\sigma(\tau\varphi)](x_{1},...,x_{p}) = (\tau\varphi)(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))})$. Wo ist mein Fehler?

Answer 1

Beim Schreiben hat sich ein Fehler eingeschlichen

$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$

Sie haben

$$\begin{aligned}(\tau \sigma)\varphi(x_{1},...,x_{p}) &= \varphi(x_{(\tau\sigma)(1)},...,x_{(\tau\sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau\circ \sigma)(1)},...,x_{(\tau\circ \sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau(\sigma(1))},...,x_{(\tau(\sigma(p))})\\ &= \tau(\varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\\ &= \tau(\sigma\varphi(x_1,...,x_p)\\ \end{aligned}$$

Daher die Gleichberechtigung Ihres Buches$$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$

Answer 2

Generell stimmt das nicht$\varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$- Dies gilt nur, wenn$\tau$und$\sigma$einpendeln$S_p$. Nehmen Sie zum Beispiel$p=3$,$\tau = (1\ 3), \sigma = (1\ 2\ 3)$. Dann$$\sigma\tau \phi = (1\ 2\ 3)(1\ 3)\phi = \phi(x_1,x_3,x_2) $$ $$\tau\sigma \phi = (1\ 3)(1\ 2\ 3)\phi = \phi(x_2, x_1, x_3)$$

Was stimmt, ist das bei der Bewertung$\sigma\tau\phi$(zum Beispiel) können Sie sich zuerst bewerben$\tau$zu$\phi$und sich dann endlich bewerben$\sigma$, oder Sie können sich zuerst bewerben$\sigma$zu$\tau$und dann diese kombinierte Permutation anwenden ($\sigma\tau$) zu$\phi$.