Pfadintegrale Identität

Question

Ich lese die Hintergrundfeldmethoden in den EPFL-Vorlesungen über GR als EFT . Die Autoren verwenden diese Identität auf Seite 23, Gleichung (174):$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$Dies ist nur ein Standard-Gauß-Integral (Pfadintegral). Aber sie benutzen dies weiter:$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$was ich nicht ganz verstehe. Nutzt dies die$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$? Wenn ja, warum gibt es ein Integral in der$\exp$ - Sollte es keine entsprechende Delta-Funktion geben, um sie abzubrechen?

Answer 1

1. Ja, OP ist richtig: Die Vorlesungen verwenden die Gaußsche Pfadintegration und die Identität$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$in Gl. (174).

2. Als nächstes verwenden die Vorlesungen die Vollständigkeitsrelation $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ und $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$in Gl. (174).

3. Die überlebende Spur auf der rechten Seite der letzten Gl. (174) könnte zB eine Geschmacksspur sein und zeigt an, dass die Spur in Gl. (iii) ist nur eine Teilspur .

Answer 2

Ja, Sie haben Recht - die Determinanten-Logarithim-Identität wurde oben verwendet. Für das Exponential wurde folgendes verwendet (aus dem Buch Field Quantization von Greiner, Reinhardt, Kapitel 11, Seite Nr. 353) -
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

Der Beweis des Obigen ist auch darin gegeben. Das$2\pi$'s sind höchstwahrscheinlich bereits in der zugehörigen Konstante absorbiert. Der in Ihrer Frage angegebene Ausdruck ist (höchstwahrscheinlich) ein Aktionsintegral im Feynman-Formalismus (Pfadintegral), und deshalb ist der$-i$ ist da - der Kern des Feynman-Formalismus ist, dass Handlung geschrieben werden kann als $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $. Prost!