Poker Counting Problem

Question

Beim Poker erhalte ich $2$ Karten und sie sind ein Paar $8$s. Wie hoch sind die Chancen, dass ich nur ein Paar, zwei Paare und drei Gleiche (aber nichts Höheres) bekomme, wenn die anderen drei Karten abgelegt werden?

Ich habe dieses Problem nur für das Paar gelöst: $\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$dass wir nur drei Karten auswählen und zufällige Farben für sie auswählen müssen. Wir müssen keinen Anzug für unsere auswählen$8$s weil wir sie schon haben?

Der zweite Teil, da wir bereits ein Paar haben, um zwei Paare zu bekommen: $\binom{4}{2}\binom{12}{1}\binom{11}{1}\binom{4}{1}$ Wir wählen zwei Farben für die zwei Karten des gleichen Ranges und wählen dann einfach eine zufällige Karte, die nicht den gleichen Rang wie das erste oder zweite Paar hat.

Zum letzten Teil, da wir bereits ein Paar haben: $\binom{13}{1}\binom{4}{1}\binom{12}{2}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$ Wir wählen eine Karte, die den gleichen Rang wie unser Paar hat, wählen ihre Farbe und wählen dann zwei zufällige Karten und ihre Farben.

Daher gibt es folgende Möglichkeiten: $\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} + \binom{4}{2}\binom{12}{1}\binom{11}{1}\binom{4}{1} + \binom{13}{1}\binom{4}{1}\binom{12}{2}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.

Ich kann nicht sehr gut zählen und übe weiter. Deshalb frage ich, ob meine Logik dafür richtig ist. Denn schon ein Paar zu haben ist ordentlich und gibt mir eine neue Perspektive, wie Zählprobleme funktionieren.

Answer 1

Was Sie getan haben, war ein Versuch, die Anzahl der Möglichkeiten für jedes Ergebnis zu zählen.

Der erste ist richtig: Wählen Sie drei verschiedene Ränge, die nicht sind $8$und wählen Sie den Anzug für jeden.

Das zweite ist auch richtig: Wählen Sie einen Rang, der nicht ist $8$ Wählen Sie für das zweite Paar die Farben für jede Karte im zweiten Paar und eine dritte Karte mit einem anderen Rang und ihre Farbe aus.

Zum dritten: Wählen Sie einen anderen $8$ (es stehen noch zwei zur Auswahl) und dann zwei verschiedene Ränge, jede Farbe: $2 \times {12 \choose 2} \times 4 \times 4$.

Um die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen zu ermitteln, dividieren Sie durch die Gesamtzahl der Möglichkeiten, aus denen Sie drei der verbleibenden auswählen können$50$Karten ohne Einschränkungen. Das ist einfach${50 \choose 3}$.

Ein einfacheres Beispiel dafür, warum Sie teilen, ist das Würfeln einer geraden Zahl auf einem sechsseitigen Würfel. Es gibt drei gerade Zahlen dazwischen$1$ und $6$und es gibt insgesamt $6$mögliche Resultate. Die Wahrscheinlichkeit ist also$3/6 = 1/2$.