Positivität eines Operators

Question

Betrachten Sie eine Funktion$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$der Klasse$C^1$. Wenn$f(0)=0$und$f'(0)>0$Es ist klar, dass es einige gibt$t_0>0$so dass$f(t_0)>0$.

Wenn jetzt$f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$der Klasse$C^1$, wo$\mathcal{M}^{n\times n}$sind real$n\times n$Matrizen, wenn$f(0)=0$und wenn$f'(0)$eine streng positiv definierte Matrix ist, wird es wieder a geben$t_0$so dass$f(t_0)$ist eine streng positiv definierte Matrix.

Die Frage ist, gilt das auch für Betreiber? Lassen Sie insbesondere$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$der Klasse$C^1$, wo$\mathcal{O}$ist die Menge kompakter selbstadjungierter Operatoren auf einem trennbaren Hilbert-Raum$\mathcal{H}$. Lassen$f(0)=0$und nehme das an$f'(0)$ein kompakter positiver selbstadjungierter Operator ist, ist es wahr, dass es a geben muss$t_0$so dass$f(t_0)$ist positiv?

Answer 1

Nein. Gegenbeispiel: Let$H = \ell^2$und$M : H \to H$gegeben werden von

$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$

Dann$M$ist kompakt (Grenzen endlicher Rangoperatoren), selbstadjungiert und positiv. Als nächstes lassen$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$eine glatte ungerade Funktion sein, so dass

• $\varphi(t) = t$an$[-1,1]$,
• $|\varphi (t)|\le 1.1$
• $\varphi$nimmt ab$[1.1, 2]$und
• $ \varphi(t) = 0$an$[2, \infty)$.

Für jeden$n$, definieren$\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$. Definieren$ M_t:=f(t)$durch$$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$

Dann$M_0 = 0$und jede$M_t$ist selbstadjungiert, endlicher Rang (also nicht positiv). Ebenfalls,$f$ist$C^1$. Das kann man in der Tat überprüfen$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$Seit$\varphi_n'(0)=1$für alle$n$, wir haben$f'(0) = M$.