Precalculus-Algebra-Problem über rationale und irrationale Zahlen.

Question

Lassen $ a, b $irrationale Zahlen sein. Wir wissen das$ a + b $, $ a^3 + b^3 $ und $ a^2 + b $ sind rational.

Das habe ich bewiesen $ ab $, $ a + b^2 $sind auch rational. Ich habe versucht, einige Beispiele zu finden:$ (1 - \sqrt{x}, 1 + \sqrt{x}) $, $ (1 - \sqrt[3]{x}, 1 + \sqrt[3]{x}) $, $ (1 - \sqrt[6]{x}, 1 + \sqrt[6]{x}) $sogar trigonometrische Funktionen.

Answer 1

Nehmen $$(a,b)=\left(\frac{1+\sqrt{r}}{2},\frac{1-\sqrt{r}}{2}\right),$$ wo $r\in\mathbb Q$, $r>0$ und $\sqrt{r}\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$.