Preisgestaltung ohne Arbitrage

Question

Wir haben einen Vertrag, dessen Wert ist $A(S_t,t) = S_t^3$ zu jeder Zeit, nicht nur nach Ablauf. $S_t$, die zugrunde liegende Aktie, folgt einer geometrischen Brownschen Bewegung, $\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dB$. Wie würden wir zeigen, dass dies nicht mit der Preisgestaltung ohne Arbitrage vereinbar ist?

Ich dachte, eine mögliche Lösung könnte darin bestehen, zu zeigen, dass es sich bei der Q-Maßnahme nicht um ein Martingal handelt. Grundsätzlich gehen wir davon aus, dass$A(S_t, t)$ ist ein Martingal, was das impliziert$e^{-rt}E^Q[A_t] = A_0 = S_0^3$. Aber unter der risikoneutralen Maßnahme wissen wir das$S_t = S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t + \sigma \sqrt{t} Z^Q}$ wo $Z$ist normal normal. Es folgt dem$A(S_t, t) = S_t^3 = S_0^3e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$. Berechnung der Erwartung$e^{-rt}E^Q[S_t^3] = S_0^3 e^{-rt}\int_{z^*}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-z^2}{2}}e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$ wir erhalten $S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t}$. weil$S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t} \neq S_0^3$ Wir schließen daraus $A(S_t, t)$ ist kein Martingal, also die Tatsache, dass der Vertrag Wert hat $S_t^3$ ist zu jeder Zeit unvereinbar mit der Preisgestaltung ohne Abitrage.

Würde so etwas funktionieren? Jede Hilfe wäre sehr dankbar. Vielen Dank.

Answer 1

Im Rahmen der risikoneutralen Maßnahme durch Anwendung von Ito: $$ dS^3_t = 3 \left[ (r + \sigma^2)S^3_t dt + \sigma S^3_t dW_t \right] $$ Die risikoneutrale Drift ist nicht die risikofreie Rate und daher $S_t^3 \; \forall t$ kann nicht der Preis einer Forderung oder eines anderen handelbaren Vermögenswerts sein.

Im Grunde genommen also in die gleiche Richtung wie Ihr Beweis, aber ohne die Erwartungen usw. zu berechnen. Sie müssen sich nur die lokale Drift ansehen.