Preisliche Analyse von Swaption mithilfe des Libor-Marktmodells

Question

In einem kürzlich geführten Interview wurde mir folgende Frage gestellt: " (i) Drücken Sie einen Forward-Swap-Satz in Form von Forward-Libor-Sätzen aus. (Ii) Wenden Sie Itos Lemma auf diesen Ausdruck an, um den Prozess für den Forward-Swap-Satz abzuleiten. (Iii) Schließlich , benutze diesen Ausdruck, um eine Swaption zu bewerten ". Ich konnte die ganze Frage vor Ort nicht ganz herausfinden und wollte sie hier durcharbeiten, um zu sehen, wie man sie richtig löst.

(i) Forward-Swap-Satz: Dies ist unkompliziert, hier nichts kompliziertes (der zugrunde liegende Swap hat eine Laufzeit von n Jahren und ist fest gegenüber einem 6-m-Float).

$$r_T(t)= \frac{\sum_{j=0}^{2n-1}\tau_j L_j\left(t\right) Df(T+h_{j/2})}{\sum_{i=1}^{n}*Df(T+h_i)}$$

Über, $r_T(t)$ ist der Forward-Swap-Satz zum Zeitpunkt $t$, wo der entsprechende Swap zum Zeitpunkt eingestellt wird $T\geq t$. $L_j(t)$ ist der "j-te" Forward Libor zur Zeit "$t$", das setzt zur Zeit ein $T+h_{j/2}$ und läuft sechs Monate danach ab. $\tau_j$ ist der jährliche Bruchteil. $DF(T+h_i)$ ist der Abzinsungsfaktor zu einem bestimmten Zeitpunkt (dh $DF(T+h_i)=P(t,T+h_i)$mit $P(t,T+h_i)$ eine Nullkupon-Anleihe mit Ablauf bei $T+h_i$). Jede Forward-Libor-Rate folgt der logarithmischen Normaldiffusion:$$dL_j=\mu_j L_j dt+\sigma_j L_j dW_j$$

(ii) Itos Lemma: Wir müssen die erste und zweite Ableitung von nehmen$r_T(t)$ in Bezug auf jeden Forward Libor $L_j(t)$und auch in Bezug auf die Zeit. Hier geht:$$\frac{\partial r}{\partial L_j}=\frac{\sum_{j=0}^{2n-1}\tau_j Df(t_{j/2})}{\sum_{i=1}^{10}*Df(t_i)}, \frac{\partial^2 r}{\partial L_j^2}=0, \frac{\partial r}{\partial t} = 0$$

Gute Nachrichten, die Ableitungen erster Ordnung sind eine Konstante, die Ableitung zweiter Ordnung ist Null und die Zeitableitung ist ebenfalls Null, so dass:

$$ r(L_1, ..., L_j, ...,L_n)=r_0+\int_{s=0}^{s=t} \left( \sum_{j=0}^{2n-1} \frac{\partial r}{\partial L_j} * L_j(s) \mu_j \right) dt+\\+\sum_{j=0}^{2n-1}\left(\int_{s=0}^{s=t} \left(\frac{\partial r}{\partial L_j}L_j(s) \sigma_j \right) dW_j(s) \right) $$

Könnte jemand überprüfen, ob ich Itos Lemma über pls richtig angewendet habe?

(iii) Swaption-Auszahlung: Wir sind jetzt daran interessiert, die angegebene Swaption zu bewerten$C$ (wo $N_j(t)$ ist ein Numeraire unserer Wahl & $C(r_T(t_0),T_1)$ ist der Wert zum Zeitpunkt $t_0$ einer Swaption, die zur Zeit abläuft $T_1\leq T$):

$$ \frac{C(r_T(t_0),T_1)}{N_j(t_0)}=E^{N_j}\left[\frac{\left(r_T(T_1)-K,0 \right)^{+}}{N_j(T_1)} \right] $$

Frage 1 : Ist die Anwendung von Itos Lemma in Teil (ii) korrekt, um die richtige Gleichung für zu erhalten?$r(t)$?

Frage 2 : Ich nehme an, die Swaption-Formel mit$r(t)$ wie in Teil (ii) abgeleitet, kann nicht analytisch gelöst werden - ist das richtig?

Answer 1

Der Barwert eines Vanilla-Swaps (das Wort Vanilla wird verwendet, da ich den einfachsten Swap in Betracht ziehe, dh fiktive gleich eins, zusammenhängende Zeitintervalle, konstante Rate usw.) ist gegeben durch:

\begin{align} V_s(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ \sum_{i=1}^N D(t, T_{i+1}) \cdot \tau_i \cdot (L(T_i, T_i, T_{i+1}) - k) \right] \end{align}

wo $T$ beschreibt die Tenorstruktur der Fixierungen und Zahlungen, dh $0 \leq T_1 \leq T_2, \dots, T_{N+1}$, $\tau_i = T_{i+1} - T_i$, $D(t, T)$ ist der Abzinsungsfaktor und $L$ ist der Libor-Kassakurs.

Erinnern wir uns, dass die Forward-Libor-Rate unter einem bestimmten Maß ein Martingal ist:

$$ L(t, T, T + \tau) = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau) \right] \quad \text{with } t \leq T. $$

Wenn wir nun eine Änderung der Kennzahl in der Swap-Bewertung durchführen und das oben angegebene Ergebnis verwenden, erhalten wir:

$$ V_s(t) = \sum_{i=1}^N P(t, T_{i+1}) \cdot \tau_i \cdot (L(t, T_i, T_{i+1}) - k). $$

Der Forward-Swap-Satz ist so definiert, dass der Swap-Wert wie folgt berechnet werden kann:

$$ V_s(t) = A(t) \cdot ( S(t) - k) $$

wo $A(t)$ repräsentiert die Annuität und $S(t)$die Forward-Swap-Rate. Nach etwas Algebra bekommen Sie das:

$$ S(t) = \frac{P(t, T_1) - P(t, T_N)}{\sum_{n=1}^{N} \tau_n \cdot P(t, T_{n+1})} = \frac{P(t, T_1) - P(t, T_N)}{A(t)} \quad \text{with } t < T_1, $$

oder äquivalent:

$$ S(t) = \frac{\sum_{n=1}^N \tau_n \cdot P(t, T_{n+1}) \cdot L(t, T_n, T_{n+1})}{\sum_{n=1}^{N} \tau_n \cdot P(t, T_{n+1})} \quad \text{with } t < T_1, $$

Jetzt die Dynamik der Liboren kennen $dL(t, T_n, T_{n+1})$ Mit dem Libor-Marktmodell können Sie Itos Lemma anwenden und die Dynamik für finden $dS(t)$.

Nehmen wir nun an, dass der Inhaber bei der European Swaption das Recht hat, den vorherigen Swap in einzugeben $T_1$. Sein Wert zur Zeit$t = T_1$ ist gegeben durch:

$$ V_{es}(T_1) = \max(V_s(T_1), 0) = \left( V_s(T_1) \right)^+. $$

Dann sein Wert zur Zeit $t < T_1$ ist gegeben durch:

\begin{align} V_{es}(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T_1) \cdot V_{es}(T_1) \right]\\ V_{es}(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T_1) \cdot \left( V_s(T_1) \right)^+ \right]\\ V_{es}(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T_1) \cdot \left( A(T_1) \cdot ( S(T_1) - k) \right)^+ \right]\\ V_{es}(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T_1) \cdot A(T_1) \cdot \left( S(T_1) - k \right)^+ \right]\\ \end{align}

Wechseln Sie nun zum Rentenmaß (auch als Swap-Maß bezeichnet) $Q^A$) ist der Swaption-Wert gegeben durch:

$$ V_{es}(t) = A(t) \cdot \mathbb{E}_t^A \left[ \left( S(T_1) - k \right)^+ \right]\\ $$

Diese letzte Erwartung kann gelöst werden, da es sich um eine Call-Option mit dem Swap Forward Rate handelt $S$als Basiswert (zum Beispiel mit dem Black-Modell). Das einzige, was noch übrig ist, ist die Swap-Rate-Dynamik unter dem Swap-Maß$Q^A$. Der Swap-Satz ist im Rahmen dieser Maßnahme ein Martingal, da er durch die Subtraktion von zwei numerisch deflationierten Vermögenswerten gegeben ist, nämlich$P(t, T_1)/A(t)$ und $P(t, T_N)/A(t)$. Die Dynamik von$S(t)$ unter unter dem $Q^A$Messung und Verwendung des Libor-Marktmodells sind in Gleichung (14.30) des Andersen- und Piterbarg-Zinsmodellierungsbuchs dargestellt. Da Sie kein stochastisches Volatilitätsmodell für das Libor-Marktmodell in Betracht ziehen, kann es erheblich vereinfacht werden. Ich werde das so schnell wie möglich tun und meine Antwort bearbeiten.