Problem gewöhnliche Differentialgleichung

Question

Betrachten Sie die gewöhnliche Differentialgleichung $y^{\prime}=y(y-1)(y-2)$

Welche der folgenden Aussagen ist wahr ?

(a) Wenn $y(0)=0.5$ dann $y$ wird weniger

(b) Wenn $y(0)=1.2$ dann $y$ nimmt zu

(c) Wenn $y(0)=2.5$ dann $y$ ist unbegrenzt

(d) Wenn $y(0)<0$ dann $y$ ist unten begrenzt

Ich löse mit der Trennung von Variablen und bekomme implizite Beziehung als

$\frac{ y(y-1)}{(y-2)^2}= A e^ {2x} $

Nun wird es sehr schwierig, die Bedingung anzuwenden und den Wert von zu finden $A$ und Option prüfen

Gibt es eine einfache Methode, um solche Fragen zu lösen?

Answer 1

Es ist nicht erforderlich, die Differentialgleichung tatsächlich zu lösen. Sie können das Verhalten der Lösung extrapolieren, indem Sie das Verhalten von betrachten $y’$ für die gegebenen Anfangsbedingungen.

Betrachten Sie zum Beispiel die ersten beiden Aussagen darüber, ob $y’$ steigt oder sinkt für gegebene Werte von $y$. Fügen Sie einfach das angegebene ein$y$ Wert in den Ausdruck für $y’$ und bestimmen Sie, ob es positiv oder negativ ist, und das sagt Ihnen, ob oder nicht $y$ nimmt zu oder ab.

In den beiden letztgenannten Fällen ist der Prozess etwas subtiler - Sie müssen in der Lage sein, die Anfangsbereiche zu notieren $y$ist wo $y$ wird weiterhin monoton zunehmen oder abnehmen und diese Informationen verwenden, um zu bestimmen, welches Verhalten wahr oder falsch ist.