Problem mit Factoring $x^4-x^3+x^2-x+1$

Question

Ich möchte folgendes Integral mit Teilbruch berechnen: $$\int{1\over x^5+1}dx$$Also zerlege ich den Nenner:

$$x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$

Für den nächsten Schritt suchte ich im Internet und fand heraus, dass ich mich zersetzen sollte$x^4-x^3+x^2-x+1$ so was:

$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$$

Und dann $a,b$ kann leicht gefunden werden.

Meine Frage ist, warum die Koeffizienten von $x^2,x^0$ sind $1$?

Weil ich umschreiben kann:

$$x^4-x^3+x^2-x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$$

Und das einzige, was ich auf den ersten Blick sehen kann, ist $ad=1,cf=1$ und ich habe keine Ahnung warum $a=d=c=f=1$

Sie können seine Antwort unten sehen:

Answer 1

Im Allgemeinen werden die beiden Polynome bis zur Multiplikation einer Konstanten angegeben (Sie können eine mit multiplizieren $k$ und andere von $1/k$), damit Sie es so arrangieren können, dass $a=d=1$ist garantiert. Zum Beispiel$x^2+4x+4$ kann berücksichtigt werden als $(x+2)(x+2)$ aber auch als $(2x+4)(\frac{1}{2}x+1)$. Es steht uns also frei, einen der Koeffizienten festzulegen, um die Antwort eindeutig zu machen. Wenn Sie dies jedoch tun, haben Sie nicht die Wahl für andere. Ein korrekter Start hier ist also so etwas wie$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2−ax+b)(x^2−cx+d).$$

Natürlich können Sie weitere Berechnungen durchführen, um weitere Informationen zu den konstanten Koeffizienten zu erhalten, aber nicht vorher.

Das folgende leicht modifizierte Beispiel zeigt auch, dass sowohl führende als auch konstante Koeffizienten angenommen werden $1$ von Anfang an ist falsch:

$$ x^4-x^3+x^2+x+1=\\(x^2+0.86676039+0.46431261)(x^2-1.86676039x+2.15372137) $$

Wie in der verknüpften anderen Frage ausgeführt, wurde in diesem Fall wahrscheinlich verwendet (aber nicht erklärt), dass das Polynom palindromisch (selbstreziprok) ist, was impliziert, dass seine Wurzeln paarweise vorliegen $\alpha, \frac{1}{\alpha}$ (Es ist ein Ergebnis von $x^4f(1/x)=f(x)$). Auf diese Weise können Sie die Faktoren in einem Formular erwarten$$(x-\alpha)(x-\frac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\frac{1}{\alpha})x+1,$$ oder allgemeiner $x^2-ax+1$.

Answer 2

Angenommen, Sie haben ein monisches (z. B. führenden Koeffizienten von 1) Polynom 4. Grades $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ dass Sie zwei Polynome 2. Grades berücksichtigen:
$(ex^2 + fx + g) \times (hx^2 + ix + j).$

Dann können Sie jeden Koeffizienten des ersten Polynoms durch dividieren $e$ und multipliziere jeden Koeffizienten des zweiten Polynoms mit $e$. Dies erzeugt:$(x^2 + [f/e]x + [g/e]) \times ([he]x^2 + [ie]x + [je]).$

Da jedoch das Produkt dieser beiden Polynome ist
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$,
dann$h \times e$ muss = 1. $

Daher wurde das monische Polynom 4. Grades in zwei monische Polynome 2. Grades zerlegt. Wie andere bereits betont haben, bedeutet dies nicht, dass die $ x ^ 0 $ -Koeffizienten in den beiden Polynomen 2. Grades jeweils eins sein müssen , nur weil der Koeffizient $ x ^ 0 $ im Polynom 4. Grades 1 ist . Alles, was Sie mit Sicherheit sagen können, ist, dass das Produkt der beiden $ x ^ 0 $ -Koeffizienten in den beiden Polynomen 2. Grades = 1 sein muss.

Wenn ich das richtig verstehe, ist es einfach so passiert, dass, wenn das in der ursprünglichen Abfrage angegebene monische Polynom 4. Grades in zwei monische Koeffizienten 2. Grades für diesen bestimmten Koeffizienten 4. Grades zerlegt wird, die resultierenden monischen Polynome 2. Grades zufällig ihre $ x ^ haben Jeweils 0 $ Koeffizienten = 1.

Nachtrag Konzentriert sich auf das ursprüngliche Polynom 4. Grades des OP

Betrachten Sie zunächst das Polynom 4. Grades, das gleich
$ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) ist. $
Dies ist ein einfaches Gegenbeispiel, dessen Produkt Form haben wird $ x ^ 4 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + 1. $

Bearbeiten Nun, das ist peinlich:

Ich habe gerade festgestellt, dass mein Gegenbeispiel oben fehlerhaft ist . Das heißt, wenn $ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) $ zu einem monischen Polynom 4. Grades kombiniert wird, kann es durchaus alternative Möglichkeiten geben, diesen 4. Grad zu berücksichtigen Polynom, das zu dem Muster passt, das ursprünglich dem OP vorgeschlagen wurde.

Wie auch immer, der Rest dieses Nachtrags befasst sich mit den Einschränkungen auf eine Art und Weise, die der sehr ähnlich ist https://math.stackexchange.com/questions/3792716/what-is-the-meaning-of-symmetry-of-the-coefficients Link, den jemand bereits kommentiert hat.

All diese Analysen werfen die Frage auf, warum es anscheinend einen Vorschlag gab,
$ f (x) = x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + 1 $ in
$ (x ^ 2 - ax + 1) \ zu faktorisieren mal (x ^ 2 - bx + 1). $

Ich vermute, dass das, was wirklich passiert, darin besteht, dass vermutet wurde, dass $ f (x) $ so berücksichtigt werden kann.

Folglich wird der Schüler gebeten , die Vermutung zu untersuchen und zu prüfen , ob sie wahr ist. Das Erkunden führt zu den folgenden Einschränkungen für $ a $ und $ b $ :

(1) re $ x ^ 3: a + b = 1. $
(2) re $ x ^ 2: 2 + (a \ times b) = 1. $
(3) re $ x ^ 1: a + b = 1. $

Beachten Sie, dass Sie drei Einschränkungen für die beiden Variablen $ a $ und $ b. $ Haben

Da jedoch die Einschränkungen (1) und (3) identisch sind, erhalten Sie nur zwei Einschränkungen.

Selbst wenn beide Bedingungen (1) und (2) linear wären, würde dies (im Allgemeinen) keine Lösung garantieren [z. B. r + s = 6. 2r + 2s = 11].

Im vorliegenden Fall ist die Bedingung (2) nicht linear, was sie noch zweifelhafter macht. Hinweis: Ich bin hier auf dünnem Eis. Ich habe noch nie den Effekt der Kombination von 1 linearen Einschränkung mit 1 nichtlinearen Einschränkung untersucht.

Allerdings , zu erforschen , wie beabsichtigt, vermutlich, befriedigende Werte von $ a $ und $ b $ gefunden werden kann. Wenn Sie sich $ f (x) ansehen , bemerken Sie, dass die Bedingung (3) mit der Bedingung (1) identisch ist, gerade weil in $ f (x) $ die Koeffizienten $ x ^ 3 $ und $ x ^ 1 $ identisch sind.

Daher könnte argumentiert werden, dass die vorgeschlagene Vermutung gut motiviert war.