Pseudoinverse einer Diagonalmatrix

Question

Matrix lassen$A \in \Bbb R^{n \times n}$haben$k$diagonale Elemente, wo$k < n$, und die restlichen Elemente sind Null. Ich versuche, die Pseudoinverse von zu finden$A + \lambda I$Wenn$\lambda$nähert sich Null.

Dann$\frac{1}{a_i + \lambda}$wären die diagonalen Elemente für$i$geht von 1 auf$k$der Pseudo-Inversen und$\frac{1}{\lambda}$wäre der Rest der diagonalen Elemente. Wenn ich setze$\lambda$gleich Null, dann wäre die Pseudo-Inverse eine Matrix mit Elementen von$A$Matrix invertiert, aber es gäbe Elemente, die ins Unendliche gehen. Aber das klingt nicht richtig. Was ist falsch an dieser Logik?

Answer 1

Das Problem ist, dass die Pseudo-Inverse keine kontinuierliche Funktion im Raum von Matrizen ist, wie Sie es genau gezeigt haben. Betrachten Sie die 1d-Matrix$(x)$zum$x\in\mathbb R$. Dann ist die pseudo-inverse Karte$$ (x)\mapsto\begin{cases}1/x&\text{ if }x\neq 0,\\0&\text{ otherwise.} \end{cases} $$Dies ist keine Stetigkeit bei Null, und daher würden wir nicht erwarten, dass es eine Grenze eines Elements auf Null beibehält. Dasselbe passiert mit Ihrem Beispiel, wenn wir uns auf den Kernel von beschränken$A$.