QM-Basistransformation durch einheitlichen Operator

Question

Ich habe eine kurze Frage zu Basistransformationen im QM. Angenommen, ich habe zwei Basen$\{|{\phi_n}\rangle\}$ und $\{|{\phi_n'}\rangle\}$. Der Kürze halber können wir sie orthonormal machen. Ich weiß, dass jeder Zustandsvektor in Bezug auf beide Basen erweitert werden kann:

$$|\psi\rangle = \sum_n |\phi_n\rangle \langle \phi_n | \psi \rangle = \sum_n |\phi_n'\rangle \langle \phi_n' | \psi \rangle$$

Ich verstehe auch, dass die Operatorzuordnung $|\phi_n\rangle$ zu $|\phi_n'\rangle$, $\hat{U}$ist ein einheitlicher Operator.

Jetzt wurde mir immer gesagt, dass eine Änderung der Basis den Zustandsvektor nicht ändert. Wenn ich meinen Zustandsvektor in der Basis ausgedrückt habe$\{|{\phi_n}\rangle\}$ und wollen es in Bezug auf ausdrücken $\{|{\phi_n'}\rangle\}$ Ich sollte nur die Identitätstransformation anwenden $\hat{1} = \sum_n |\phi_n'\rangle\langle\phi_n'|$ und ich werde die Basis geändert haben.

In diesem Prozess ändert sich die entsprechende Spaltenmatrix so, als ob eine einheitliche Matrix angewendet worden wäre. Aus dieser Beobachtung schließen Zettilis Buch Seite 115-116 und die Vorlesungsunterlagen eines Kurses, dem ich folge, dass wir, um einen Zustandsvektor auf einer neuen Basis auszudrücken, tatsächlich einen einheitlichen Operator wie diesen anwenden sollten:

$$|\psi_\text{new}\rangle = \hat{U}|\psi_\text{old}\rangle$$

Ich habe diese Schlussfolgerung jetzt an mehreren Stellen gesehen, kann sie aber nicht ganz verfolgen. Warum ändern wir den Zustand?$|\psi \rangle$? Ist der Staat nicht unveränderlich von der gewählten Basis? Dies ist der Ansatz von beispielsweise Sakurai in Abschnitt 1.5.

Oder halten wir die Basis fest, während wir den einheitlichen Operator anwenden? Eine Analogie, die ich oft sehe, ist eine 2D-Rotation. Drehen der$(x,y)$ Koordinatensystem durch einen Winkel $\theta$ werden $(x', y')$ während das Halten des Vektors eine Transformation der Basis ist (von der $(x,y)$ zum $(x',y')$-System). Aber mathematisch kann ich den Zustandsvektor auch um einen Winkel drehen$-\theta$ und behandeln die alten $(x,y)$-Achsen wie neu $(x', y')$-Achsen. Tun dies die Quellen, die mich verwirren (in einem QM-Kontext)?

Answer 1

Der Staat ändert sich natürlich nicht, aber seine Repräsentation in der neuen Basis. Dies ist sehr intuitiv. Nehmen wir das Beispiel von Rotationen im 2D-Raum: Betrachten Sie einen Einheitsvektor in der$xy$ Ebene, die gegeben ist durch $$V = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}.$$ Wenn ich diesen Vektor in einer Basis beschreiben würde $x'y'$ welches in Bezug auf gedreht wird $xy$ um einen Winkel $\theta$ im Uhrzeigersinn sollte es nicht zu schwer sein zu erkennen, dass es entspricht $$V' = \begin{pmatrix}\cos{\theta}\\\sin{\theta}\end{pmatrix}.$$

Der Vektor bleibt "gleich", aber seine Darstellung ändert sich abhängig von der Wahl der Koordinaten: Was früher entlang der Koordinaten zeigte$x$ Die Achse scheint nun entlang einer Linie entlang des Winkels zu zeigen $\theta$. Wenn wir diese beiden Darstellungen in Beziehung setzen wollten, würden wir in 2D eine spezielle orthogonale Transformation (eine Rotation) verwenden, und das könnten wir sagen

$$V' = R V,\quad \quad \text{where}\quad R = \begin{pmatrix}\cos\theta &\sin{\theta}\\ -\sin{\theta}&\cos{\theta}\end{pmatrix}.$$

Eine solche Transformation bewahrt die Längen, Orientierungen und Punktprodukte von Vektoren. In ähnlicher Weise sind in QM die Transformationen, die die "Länge" (innere Produkte) bewahren, einheitliche Transformationen$\hat{U}$, da sie das Punktprodukt unveränderlich halten, da $$\langle\phi'|\psi'\rangle = \langle\phi'|\hat{U}^\dagger\hat{U}\psi\rangle =\langle\phi|\psi\rangle.$$