Referenzanforderung: Eine mehrdimensionale Verallgemeinerung des Grundsatzes der Analysis
$\newcommand\R{\mathbb R}$Lassen $f\colon\R^p\to\R$eine kontinuierliche Funktion sein. Zum$u=(u_1,\dots,u_p)$ und $v=(v_1,\dots,v_p)$ im $\R^p$, Lassen $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$;; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$;; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$;; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ Lassen $F\colon\R^p\to\R$ sei ein Antiderivativ von $f$, in dem Sinne, dass $$D_1\cdots D_p F=f,$$ wo $D_j$ ist der Operator der partiellen Differenzierung in Bezug auf die $j$das Argument; Es wird angenommen, dass das Ergebnis dieser wiederholten partiellen Differenzierung nicht von der Reihenfolge der Argumente abhängt, für die die partiellen Ableitungen verwendet werden. Lassen$[p]:=\{1,\dots,p\}$. Für jeden Satz$J\subseteq[p]$, Lassen $|J|$ bezeichnen die Kardinalität von $J$.
Dann ist es nicht schwer, die folgende mehrdimensionale Verallgemeinerung des Grundsatzes der Analysis ( Lemma 5.1 ) zu etablieren: \ begin {Gleichung} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {J \ subseteq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {Gleichung} wobei$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$.
Hat jemand diese oder eine ähnliche Aussage woanders gesehen? (Ich frage nur nach Referenzen, nicht nach Beweisen.)
Antworten
Für eine elementare Tatsache wie diese, die vielleicht tausendmal neu erfunden wurde, ist es schwierig, das erste Papier zu finden, in dem dies erschien. Lassen Sie mich jedoch einen fehlenden Kontext angeben. Es gibt eine ganze Branche in der konstruktiven Quantenfeldtheorie und der statistischen Mechanik über verwandte "intelligente" Interpolationsformeln oder Taylorformeln mit integralen Resten. Diese werden verwendet, um sogenannte Cluster-Erweiterungen durchzuführen . Für die Identität des OP gibt es keinen Verlust an Allgemeinheit bei der Einnahme$u=(0,0,\ldots,0)$ und $v=(1,1,\ldots,1)$. In diesem Fall stammt die Formel über die Möbius-Inversion im Booleschen Gitter aus der folgenden Identität.
Lassen $L$sei eine endliche Menge. Lassen$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ eine ausreichend glatte Funktion sein und lassen $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$, dann $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ wo $\psi_A(\mathbf{h})$ ist das Element $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ von $\mathbb{R}^L$ aus dem Element definiert $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ im $[0,1]^A$ nach der Regel: $x_{\ell}=0$ wenn $\ell\notin A$ und $x_{\ell}=h_{\ell}$ wenn $\ell\in A$. Natürlich muss man 1) dies auf alle anwenden$L$'s, die Teilmengen von sind $[p]$, 2) Verwenden Sie die Möbius-Inversion im Booleschen Gitter und 3) spezialisieren Sie sich auf $L=[p]$, und dies gibt die Identität des OP.
Die obige Formel ist die naivste ihrer Art, die zur Durchführung einer Clustererweiterung mit "Würfelpaaren" verwendet wird. Siehe Formel III.1 im Artikel
A. Abdesselam und V. Rivasseau, "Bäume, Wälder und Dschungel: ein botanischer Garten für Clustererweiterungen" .
Es wird auch in Worten auf Seite 115 des Buches erklärt
V. Rivasseau, "Von der störenden zur konstruktiven Renormierung" .
Nun ist die Formel ein besonderer Fall einer viel mächtigeren, nämlich Lemma 1 in
A. Abdesselam und V. Rivasseau, "Eine explizite Multiskalen-Clustererweiterung für große und kleine Felder" ,
wo man über "erlaubte" Sequenzen summiert $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ von beliebiger Länge von Elementen von $L$anstelle von Teilmengen von $L$. Der Begriff "erlaubt" basiert auf einer willkürlichen Stoppregel. Die obige Identität entspricht "erlaubt"$=$"ohne Wiederholungen" oder die Stoppregel, die man nicht anheften sollte $\ell$am Ende einer Sequenz, wo es bereits erschien. Wenn man mit dieser Art der Wahl der Stoppregel spielt, kann man Lemma 1 meines Artikels mit Rivasseau verwenden, um die Hermite-Genocchi-Formel, die anisotrope Taylor-Formel von Hairer in Anhang A von "Eine Theorie der Regelmäßigkeitsstrukturen" und viele andere Dinge zu beweisen . Wann$f$ Ist beispielsweise das Exponential einer linearen Form, kann man verschiedene algebraische Identitäten wie in den MO-Posts erhalten
rationale Funktionsidentität
Identität mit Summe über Permutationen
Ich habe vergessen zu erwähnen, man kann Lemma 1 verwenden, um die Taylor-Formel aus Kalkül 1 abzuleiten. Dies entspricht $L$ ein Element haben und zulässige Sequenzen als solche mit einer Länge von höchstens definieren $n$. Sehen
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
Das $p=2$Der dimensionale Fall ist eine Übung in Rogawskis Lehrbuch. Es ist Übung 47 auf Seite 885, Abschnitt 15.1 (Integration in mehrere Variablen) in der Ausgabe 2008 Early Transcendentals.