Restfeld des Verbunds aus zwei Feldern

Question

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[Frage]

ich weiß, dass $K'\cdot K''$ ist eine unverzweigte Erweiterung von $K$ aber ich weiß nicht warum $K'\cdot K''$ ein Rückstandsfeld haben $k'$.

ist es immer wahr, dass $K_1\cdot K_2$ ein Rückstandsfeld haben $k_1 \cdot k_2$? (wo$k_1,k_2$ sind Rückstandsfelder von $K_1, K_2$)

Ich denke, wenn wir den Satz 7.50 beweisen, können wir verwenden " $K_1\cdot K_2$ ein Rückstandsfeld haben $k_1 \cdot k_2$" in dieser Situation.

Wir können diese Tatsache jedoch nicht nutzen, um diesen Vorschlag zu beweisen.

Wie kann ich das beweisen?

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.

Referenz (JS Milnes Algebraische Zahlentheorie ) und dieser Beitrag 1 : Seltsame Argumentation für nicht verzweigte Erweiterungen mit denselben Restfeldern ist dieselbe.

Answer 1

Zum $K/\Bbb{Q}_p$ eine endliche Erweiterung dann $F/K$ ist unverzweigt iff $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ mit $p\nmid n$ und $q= |O_F/(\pi_F)|$. Dies ist die Hauptanwendung von Hensel Lemma.

Wann $E/K,E'/K$ verzweigt sind dann ist es nicht immer der Fall, dass das Restfeld von $EE'$ ist das kleinste Feld, das die von enthält $E,E'$, Versuche es mit $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.

Wann $E'/K$ ist dann nicht verzweigt $EE'=E(\zeta_{q-1})$ hat Rückstandsfeld $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.