Schätzen $|\int_{\beta}\exp(iz^2)\ dz|$

Question

Lassen $R > 0$ und betrachte eine Kurve $$\beta(t) = R\exp(it), \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \leq t \leq \pi/4.$$ Das muss ich zeigen $$\left|\int_{\beta}\exp(iz^2)\ dz \right| \leq \frac{\pi(1-\exp(-R^2))}{4R}.$$

Versuch: Nun, ich dachte, ich werde nur die ML-Schätzung verwenden, aber ich blieb stecken. Ich habe die Länge des Kurvenbogens berechnet$\beta$:: $$l(\beta) = \int_0^{\pi/4}|\beta^{\prime}(t)|dt = \int_0^{\pi/4}|iR\exp(it)|\ dt = \int_0^{\pi/4}R^2\ dt = \frac{\pi R^2}{4}.$$ Jetzt möchte ich eine finden $M > 0$ so dass $|\exp(iz^2)|$ für jeden $z \in \ \text{Image}\ \beta $.

Wir haben $|\exp(iz^2)| = \exp(-R^2\sin(2t))$. Verwenden von$\sin(2t) \geq \frac{4}{\pi}t$ (was ich nicht verstehe, wie das wahr ist), für jeden $t \in [0, \pi/4]$ergibt es das $$|\exp(iz^2)| \leq \exp\left(-R^2\frac{4}{\pi}t\right).$$ Von hier aus weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Beachten Sie, dass wir haben

$$\begin{align} \left|\int_\beta e^{iz^2}\,dz\right|&=\left|\int_0^{\pi/4}e^{i(Re^{i\phi})^2}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &=\left|\int_0^{\pi/4}e^{iR^2e^{i2\phi}}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &=\left|\int_0^{\pi/4}e^{iR^2\cos(2\phi)}e^{-R^2\sin(2\phi)}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &\le R\int_0^{\pi/4}e^{-(4R^2/\pi)\phi}\,d\phi \end{align}$$

wo wir die Dreiecksungleichung zusammen mit der Schätzung verwendet haben $ \sin(2\phi)\ge \frac{4\phi}\pi$ zum $0\le \phi\le \pi/4$.

Und jetzt kannst du fertig werden.