Sind einfache Submodule eines diskreten Moduls ein direkter Summand des Moduls?

Question

Definition :: An$R$ Modul $M$ wird als diskret bezeichnet, wenn es die folgenden zwei Eigenschaften erfüllt

$(D_1)$ Für jedes Submodul $A$ von $M$gibt es eine Zersetzung $M=M_1\oplus M_2$ so dass $M_1\leq A$ und $A\cap M_2$ ist überflüssig (klein) in $M$dh $A\cap M_2\leq_s M$.

$(D_2)$ Wenn $A\leq M$ so dass $M/A$ ist isomorph zu einem Summanden von $M$, dann $A$ ist ein Summand von $M$.

Frage: einfaches Submodul eines diskreten Moduls eine direkte Summe des Moduls?

Mein Versuch: Lass $A$ be Ein einfaches Submodul eines diskreten Moduls $M$. Dann vorbei$(D_1)$, $M=M_1\oplus M_2$ wo $M_1\leq A$ und $A\cap M_2\leq_s M$. Wenn$M_1$ ist dann ungleich Null $M_1=A$und wir sind fertig. Wenn möglich lassen$M_1$ist dann Null? Ich habe keine Beweise gefunden und konnte auch kein Gegenbeispiel finden. Bitte hilf mir.

Answer 1

Ich denke, wenn Sie überprüfen $R=F_2[x]/(x^2)$, wo $F_2$ ist das Feld von zwei Elementen, ich denke, Sie werden finden $R_R$ ist ein diskretes Modul und hat ein einfaches Submodul, aber keine nichttrivialen Summanden.