Sind Scheiben von Borel-Sets auch Borel-Sets?

Question

1. Angenommen, E ist Borel in $\mathbb{R}^{a+b}$. Zeigen Sie, dass die Scheibe$E^{x_1}$= {$x_2\in\mathbb{R}^b|(x_1,x_2)\in E$} ist Borel für jeden $x_1\in \mathbb{R}^a$.

Was ich bisher habe: Erstens enthält jede Sigma-Algebra, die die offenen Mengen enthält, jede Borel-Menge. Ich weiß auch, dass eine offene Teilmenge von gegeben ist$\mathbb{R}^{a+b}$dann für jeden $x_1\in\mathbb{R}^a$, $E^{x_1}$= {$x_2\in\mathbb{R}^b|(x_1,x_2)\in E$} ist auch offen. Dies impliziert das$E\in F$und ist Borel. Ich bin mir nicht sicher, ob diese Argumentation ausreicht.

1. Zeigen Sie, dass diese Aussage nicht wahr ist, wenn wir beide Instanzen von "Borel" durch "Lebesgue" ersetzen.

Ich dachte, ich könnte das Banach-Tarski-Paradoxon verwenden. Die Einheitskugel ist in 5 nicht lebesgue-messbare Abschnitte unterteilt. Nehmen Sie jedoch einen dieser Abschnitte und benennen Sie ihn$A\in\mathbb{R}^3$. $A\times${$0$} ist Lebesgue messbar (0 Maß).

Answer 1

Hier einige Hinweise:

Um zu sehen warum $E^{x_1}$ Ist Borel, betrachten Sie die (offensichtlich Borel) Funktion $f(x_2) = (x_1,x_2)$. Verstehst du warum?$E^{x_1}$ Wird das Vorbild eines Borels durch eine Borelfunktion festgelegt?

Denken Sie daran, dass die messbaren Lebesgue-Mengen genau sind $\{ \text{borel sets} \} \cup \{ \text{extra null sets} \}$, also müssen wir diese zusätzlichen Nullsätze wahrscheinlich irgendwie verwenden.

Genauer gesagt: Nehmen Sie Ihr nicht messbares Lieblingsset (Lebesgue) $X$. Kannst du das zeigen?$X \times \{0\}$ ist (lebesgue) messbar in $\mathbb{R}^2$? Denken Sie daran, dass Sie wahrscheinlich Nullsets verwenden müssen! Sobald Sie dies getan haben,$(X \times \{0\})^0$ ist offensichtlich $X$, was unter der Annahme nicht messbar war.

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Ich hoffe das hilft ^ _ ^

Answer 2

Erwägen $\{A\subseteq \mathbb{R}^{a+b}:A^{x_1} \text{ is Borel in }\mathbb{R}^b\}$. Dieser Satz enthält offene Sätze von$\mathbb{R}^{a+b}$ (weil die Projektion offen ist) und unter zählbaren Gewerkschaften und Ergänzungen stabil ist, besteht sie also aus dem Borel $\sigma$-Algebra auf $\mathbb{R}^{a+b}$. Die gleiche Technik ist in anderen Situationen sehr nützlich, in denen Sie zeigen können, dass sich eine Klasse von Mengen gut verhält, daher die$\sigma$Die von ihnen erzeugte Algebra verhält sich auch gut.

Wenn es um Lebesgue-Maßnahmen geht, müssen wir Nullmengen einbeziehen. Nehmen Sie zum Beispiel das Vitali-Set$V\subseteq \mathbb{R}$. Dann$V\times \{0\}$ ist eine Null gesetzt in $\mathbb{R}^2$, daher Lebesgue messbar, aber seine Projektion ist nicht.