Sinus des Summenbeweises

Question

Ich beweise die Formel $$ \sin{ \left(x+y \right)} =\sin{x} \cos{y}+\cos{x} \sin{y}$$unter Verwendung der Euler-Formel. Diese Summenformel wird benötigt, um die Ableitung des Sinus zu beweisen.

Ich frage mich nur, ob ich dann ein zirkuläres Argument vorbringe, da alle Beweise der Euler-Formel, die ich gesehen habe, die Kenntnis der Ableitungen von Sinus und Cosinus erfordern.

Answer 1

Ahlfors definiert in seinem komplexen Analysebuch $e^z$ die Gleichung zu erfüllen $f'(z)=f(z)$ für alle $z$ in der komplexen Ebene und $f(0)=1$. Aus dieser Definition leitet er die Potenzreihenerweiterung von ab$e^z$und zeigen, dass es überall konvergiert. Auch er zeigt$e^{a+b}=e^ae^b$Verwendung der Leibniz-Regel für Derivate. Dann definiert$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ und $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$. Aus dieser Eulers-Formel lässt sich ohne die Ableitung von ableiten$\sin$.