Skyrmion Nummer
Die Skyrmion-Nummer ist definiert als $$n=\frac{1}{4\pi}\int\mathbf{M}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}\right)dxdy$$ wo $n$ ist der topologische Index, $\mathbf {M}$ ist der Einheitsvektor in Richtung der lokalen Magnetisierung innerhalb des magnetischen Dünn-, Ultradünn- oder Massenfilms, und das Integral wird über einen zweidimensionalen Raum genommen.
Es ist bekannt, dass $\mathbf{r}=\left(r\cos\alpha,r\sin\alpha\right)$ und $\mathbf{m}=\left(\cos\phi \sin\theta,\sin\phi \sin\theta,\cos\theta\right)$. In Skyrmion-Konfigurationen kann die räumliche Abhängigkeit der Magnetisierung vereinfacht werden, indem die senkrechte magnetische Variable unabhängig vom Winkel in der Ebene eingestellt wird ($ \theta \left(r\right)$) und die magnetische Variable in der Ebene unabhängig vom Radius ($ \phi \left(\alpha\right)$). Dann lautet die Skyrmion-Nummer:$$n=\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty dr\int_0^{2\pi}d\alpha\ \frac{d\theta\left(r\right)}{dr}\frac{d\phi\left(\alpha\right)}{d\alpha}\sin\theta\left(r\right)=\frac{1}{4\pi}\ [\cos\theta\left(r\right)]_{\theta\left(r=0\right)}^{\theta\left(r=\infty\right)}[\phi\left(\alpha\right)]_{\theta\left(\alpha=0\right)}^{\theta\left(\alpha=2\pi\right)}$$
Meine Frage ist: ist $\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times \frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}$ein Curl-Produkt und was ist die Ausgabe dieses Begriffs? Wie komme ich dann zur endgültigen Gleichung?
Antworten
Es ist keine Locke. Dies kann durch Ausdrücken der Kräuselung in Vektorkomponenten gesehen werden.$$\nabla \times \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_yM_z-\partial_z M_y\\ \partial_zM_x-\partial_x M_z\\ \partial_xM_y-\partial_y M_x \end{pmatrix}$$ Hier $\partial_x$ bezeichnet die partielle Ableitung in Bezug auf $x$. Die Quantität$\partial_x\mathbf M$ ist ein Vektor wie $\mathbf M$. Es hat Komponenten$$\partial_x \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_x\\ \partial_xM_y\\ \partial_xM_z \end{pmatrix}$$ Menge berechnen $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$ ist dann nur noch eine Frage der Anwendung des Kreuzprodukts. $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_y\partial_yM_z-\partial_xM_z\partial_yM_y\\ \partial_xM_z\partial_yM_x-\partial_xM_x\partial_yM_z\\ \partial_xM_x\partial_yM_y-\partial_xM_y\partial_yM_x \end{pmatrix}$$Dies ist ein entmutigender Ausdruck, und Sie werden wahrscheinlich nicht viel Intuition bekommen, wenn Sie sich die Komponenten ansehen. Was Sie dazu sagen können, ist das$\mathbf A\cdot(\mathbf B\times \mathbf C)$bildet das Vektor-Tripelprodukt . Dies gibt das Volumen an, das von (dem Parallelepiped von) überspannt wird.$\mathbf A,\mathbf B$ und $\mathbf C$. Die Menge, die Sie integrieren, ist also das Volumen, über das Sie sich erstrecken$\mathbf M,\partial_x \mathbf M$ und $\partial_y \mathbf M$.
Um das Integral in Ihrer letzten Gleichung zu berechnen, müssen Sie nur alles in meinen letzten Ausdruck für einfügen $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$. Dies ist mühsam, sollte aber machbar sein.
BEARBEITEN Ich werde weitere Informationen hinzufügen, um die Berechnung weniger langwierig zu machen. Die partiellen Ableitungen können mit der Kettenregel erweitert werden $\partial_x=\frac{\partial r}{\partial x}\partial_r+\frac{\partial \alpha}{\partial x}\partial_\alpha$. Diese können berechnet werden $$\partial_x=\cos\alpha\partial_r-\frac{\sin\alpha}r\partial_\alpha\\ \partial_y=\sin\alpha\partial_r+\frac{\cos\alpha}r\partial_\alpha$$ Nächste beachten Sie das $\partial_r\mathbf M=\frac{d\theta}{dr}\partial_\theta\mathbf M$ und $\partial_\alpha\mathbf M=\frac{d\phi}{d\alpha}\partial_\phi\mathbf M$. Wenn wir diese partiellen Ableitungsvektoren benennen $\mathbf e_\theta=\partial_\theta\mathbf M$ und $\mathbf e_\phi=\partial_\phi\mathbf M$ dann wird das Kreuzprodukt $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\left(\cos\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta-\frac{\sin\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)\times\left(\sin\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta + \frac{\cos\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)$$ Endlich können Sie das berechnen $\mathbf e_\theta\times \mathbf e_\phi=\sin\theta \,\mathbf M$ und Sie sollten in der Lage sein, diese Berechnung durchzuführen, ohne alle Komponenten explizit zu berechnen.
Und ja, Sie sollten den Faktor hinzufügen $r$ wenn Sie zu Polarkoordinaten wechseln, wie Sie in Ihrem Kommentar erwähnt haben.