Spieler und Tickets

Question

Sie gehören zu N Spielern, die an einem Wettbewerb teilnehmen. Eine Lotterie wird verwendet, um die Platzierung jedes Spielers zu bestimmen. Sie haben einen Vorteil. Zwei Tickets mit Ihrem Namen werden in einen Hut gesteckt, während für jeden der anderen Spieler nur ein Ticket mit seinem Namen in den Hut gesteckt wird. Der Hut ist gut geschüttelt und die Tickets werden einzeln aus dem Hut gezogen. Die Reihenfolge der angezeigten Namen bestimmt die Platzierung jedes Spielers. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ihnen die zugewiesen wird?$n$th Platzierung für $n = 1, 2, . . . , N$?

Die Wahrscheinlichkeit, dass mein Name gezogen wird $k$Der Versuch ist $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ (dh zu sagen $k-1$ Ausfälle vor dem ersten Erfolg bei $k$). Ich weiß, dass die Lösung ist$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$.

Lassen $A_i$ sei das Ereignis, bei dem mein Name auftaucht $i$th Versuche. Damit:

• $\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;;

• $\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$

• $\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$.

So dachte ich das

$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$

aber ich kann mich nicht zum obigen Produkt führen. Wo irre ich mich

Answer 1

Ich erhalte (fast) das gleiche Ergebnis wie Sie unter der Annahme "Sobald ein Name gezogen und platziert wurde, werden alle zukünftigen Tickets mit diesem Namen ignoriert":

$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$

es gibt $n-1$ Begriffe, die sich mit dem ersten befassen $n-1$erfolglose Ziehungen und die letzte mit der erfolgreichen Ziehung. Die Nenner verringern sich in jedem Faktor um 1, da die Anzahl der zu ziehenden Tickets nach jeder Ziehung um 1 abnimmt. Zum ersten$n-1$ Bei Begriffen (die erfolglosen Ziehungen) verringert sich der Enumerator ebenfalls um 1, sodass der Unterschied zwischen Nenner und Enumerator immer besteht $2$ in diesen Begriffen (repräsentiert Ihre 2 Tickets).

Dieses Ergebnis kann wie folgt geschrieben werden

$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$

Ihre "bekannte Lösung" gibt das leere Produkt für $n=1$Das würde also Wahrscheinlichkeit 1 bedeuten, was offensichtlich nicht korrekt ist. Bitte überprüfen Sie, ob Sie es richtig kopiert haben.

Answer 2

Ihre Lösung vereinfacht sich erheblich. Aus irgendeinem Grund funktioniert \ cancel nicht, daher habe ich versucht anzugeben, was ich meine, indem ich die Begriffe, die abbrechen, in derselben Farbe anzeige. Die ersten Begriffe kann ich leider nur so zeigen.

$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$

Hier ist ein besserer Weg, dies zu tun.

Lassen $1\leq n\leq N$gegeben werden.
Lassen$A$ sei der Fall, dass dein Name auf dem steht $n$th Ticket. Lassen$B$ Sei das Ereignis, das du nennst, nicht auf einem der Tickets $1,2,\dots,n-1$. Wir suchen$\Pr(A\cap B)$.

$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$

Der erste Begriff ist offensichtlich. Zum zweiten gibt es$N$ Orte, an denen das andere Ticket mit Ihrem Namen sein kann, und $N+1-n$ von ihnen kommen nach dem $n$th Ticket.

Wenn Sie die oben beschriebene Vereinfachung durchführen, werden Sie zu dieser einfachen Antwort kommen.

Answer 3

Vielleicht verstehe ich nicht, wie dieses Wahrscheinlichkeitsexperiment durchgeführt wird, aber ich bekomme eine andere Antwort als alle anderen. Vielleicht kann jemand darauf hinweisen, warum meine Argumentation falsch ist, wenn überhaupt?

Nehmen wir an, sobald der Name eines Spielers ausgewählt wurde, werden alle zukünftigen Tickets mit diesem Namen ignoriert.

Die Anzahl der Möglichkeiten, wie Tickets gezogen werden können, damit Ihr Name in der angezeigt wird $n^{th}$ Steckplatz ist ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$

Insgesamt können Tickets gezogen werden ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$

Das Teilen dieser beiden ergibt die begehrte Wahrscheinlichkeit von $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$

Um dies zu sehen, können wir uns ein bestimmtes Beispiel ansehen. Angenommen, Sie sind die Nummer 1, mit der Sie in einer Lotterie spielen$N-1=2$ andere Leute und $ \{1,1^*\} $ repräsentiert Ihre zwei beitragenden Tickets aus dem $N+1=4$Tickets im Hut. Wir bezeichnen die Sammlung aller Tickets im Hut mit$\{1,1^*,2,3\}$. Wir können alle auflisten${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ mögliche Reihenfolge der Namen explizit: $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie dem zugeordnet sind $n^{th}$ Platzierung ist $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ zum $n=1,2,3$ Das macht für mich total Sinn.