Summieren dieser Binomialreihe

Question

Ich fand eine wirklich interessante Frage, die wie folgt lautet: Beweisen Sie, dass der Wert von $$\sum^{7}_{k=0}[({7\choose k}/{14\choose k})*\sum^{14}_{r=k}{r\choose k}{14\choose r}] = 6^7$$

mein Ansatz:

Ich habe versucht, das innerste Sigma zu vereinfachen und es mit zu vereinfachen ${n\choose k}=n!/k!(n-k)!$ Ich kann diesen jedoch nicht erreichen.

Ich vermute, dass sich die Summierung zu einer Standardserie vereinfacht, aber ich kann nicht sicher sagen. Bitte helfen Sie mir aus.

Answer 1

Zunächst einmal denke ich nicht, dass Ihre Summe ganz richtig ist. Die Grenzen der äußeren Summe sollten sein $k=0$ zu $7$Ich glaube, sonst ist der Wert nicht $6^7$. (Frage jetzt korrigiert)

Sie sind auf dem richtigen Weg, dass das Umschreiben der Binomialkoeffizienten in Bezug auf Fakultäten hilfreich ist. Obwohl die Faktoren innerhalb der Summe vorbei sind$r$wird nicht viel für sich vereinfachen. Die Lösung besteht darin, den Faktor zu bringen$1/\binom{14}{k}$in die zweite Summe. Das gibt uns$$ \left.\frac{r!}{k!(r-k)!}\frac{14!}{r!(14-r)!}\right/\frac{14!}{k!(14-k)!} = \frac{(14-k)!}{(r-k)!(14-k)!}\ . $$ Dies kann als erkannt werden $\binom{14-k}{r-k}$. Beachten Sie, dass die innere Summe von ist$r = k$ zu $14$können wir lassen $t = r-k$und ändern Sie die Grenzen zu $0$ und $14-k$. Dies macht die innere Summe zu$$ \sum_{t=0}^{14-k} \binom{14-k}{t} = 2^{14-k}\ . $$ Die äußere Summe kann nun ausgewertet werden, $$ \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 2^{14-k} = 2^7\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k} 2^{7-k} = 2^7(1+2)^7 = 6^7\ . $$

Answer 2

Verwenden von $${14 \choose r}{r \choose k} = {14 \choose k}{14-k \choose r-k}$$ gegeben reduziert auf

$$ \begin{align*} & \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \bigg\{\sum^{14}_{r=k} {14-k \choose r-k} \bigg\} \\ & = \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \{2^{14-k}\} \\ & = 2^{7} \times \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} 2^{7-k} \\ & = 2^{7}\times(2+1)^{7} \\ & = 6^7 \end{align*} $$

Bearbeiten: Wie von @ElliotYu gezeigt, sollte die äußere Grenze von sein$0$ zu $7$.

Answer 3

Rahmen $n=7$ wir erhalten \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=0}^n}&\color{blue}{\binom{n}{k}\binom{2n}{k}^{-1}\sum_{r=k}^{2n}\binom{r}{k}\binom{2n}{r}}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{k!(2n-k)!}{(2n)!}\sum_{r=k}^{2n}\frac{r!}{k!(r-k)!}\,\frac{(2n)!}{r!(2n-r)!}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\sum_{r=k}^{2n}\binom{2n-k}{r-k}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n }{k}\sum_{r=0}^{2n-k}\binom{2n-k}{r}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^{2n-k}\\ &=2^{2n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{2^k}\\ &=2^{2n}\left(1+\frac{1}{2}\right)^n\\ &\,\,\color{blue}{=6^n} \end{align*} und der Anspruch folgt.