Tangentiale Ebene durch $(1,1,1)$

Question

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene zur Oberfläche $x^2y+z^2y-2z-y=-1$ das durch den Punkt gehen $(1,1,1)$. Gibt es einen Punkt auf der Oberfläche, an dem die Tangentialebene parallel zur ist?$xy$Flugzeug? Welche?

$$f'_1=2xy,\ f'_2=x^2+z^2-1\\$$ Gleichung der Tangentialebene: $Z=f(a,b)+f'_1(a,b)(x-a)+f'_2(a,b)(y-b)$

$$Z=1+2(x-1)+z^2(y-1)=2x+z^2y-z^2-1$$

Oder soll ich auch setzen $z=1$ im $f'_2(a,b)$?

$$Z=1+2(x-1)+1(y-1)=2x+y-2$$

Answer 1

Ihre Formel berücksichtigt nicht die Z-Dimension und berechnet die Richtungsableitungen

$f_1'(x,y,z) = 2xy$

$f_2'(x,y,z) = x^2 + z^2 - 1$

$f_3'(x,y,z) = 2zy - 2$

Und diese bei auswerten $(1, 1, 1)$

$f_1'(1, 1, 1) = 2$

$f_2'(1, 1, 1) = 1$

$f_3'(1, 1, 1) = 0$

Die Gleichung der Tangentialebene bei $(a, b, c)$ ist gegeben durch

$ 0 = (x-a)f_1'(a, b, c) + (y-b)f_2'(a, b, c) + (z-c)f_3'(a, b, c) $

$ 0 = (x-1)f_1'(1, 1, 1) + (y-1)f_2'(1, 1, 1) + (z-1)f_3'(1, 1, 1) $

$ 0 = 2(x-1) + y-1 $

$ 3 = 2x + y $

Beachten Sie, dass die Ebene im Allgemeinen nicht parallel zum ist $xy$-plane und Sie müssen die Richtungsableitungen für jede Eingabe berechnen. In diesem Beispiel seit$f_3'(1, 1, 1) = 0$ wir haben, dass es in der Tat parallel zum ist $xy$-Flugzeug.