Tauschen $L^p$ Norm und Integral

Question

Ist es wahr dass $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}dt$$ wo $T\leq{\infty}$?

Ich kann eine ähnliche Ungleichung in der Ase beweisen $T<\infty$, indem Holders Ungleichung und Fubinis Theorem verwendet werden, um zu erhalten $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq{T^{1/p'}}\left(\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p}^pdt\right)^{1/p}$$

kann aber nicht sehen, wie man von hier aus die endgültige Ungleichung erreicht, und kann nicht sehen, dass dies für den Fall zutreffen würde $T=\infty$.

Answer 1

Ein eleganter Weg, um die Ungleichheit zu beweisen $\|\int f d\mu\|\le \int \|f\| d\mu$ für Funktionen mit Werten in einem Banachraum $(X,\|\cdot\|)$ ist die Normformel $\|x\|=\sup\{ |\phi(x)|: \phi\in X^*, \|\phi\|^*\le 1\}$(was eine Folge von Hahn-Banach ist). Zum$\phi\in X^*$ mit $\|\phi\|^*\le 1$ du kriegst $$ \left|\phi(\int fd\mu)\right|=\left|\int \phi(f)d\mu\right|\le \int \|f\|d\mu$$ wobei die letzte Ungleichung nur die Monotonie des Integrals verwendet.