Teilsummen über rationale Funktionen

Question

Ich bin kürzlich auf das Ergebnis gestoßen, dass

$$\sum_{n=2}^\infty \frac{n^4-n^3+n+1}{n^6-1} = \frac{1}{2}$$

Ich frage mich, wie man dies beweisen könnte, im Allgemeinen, wie man eine Summe über rationale Funktionen bewerten könnte.

Wenn ich die Summe in Wolfram Alpha stecke, gibt es

$$\frac{3k^4-k-2}{6k(k+1)(k^2+k+1)}$$

als die $k$-te Teilsumme. Das Limit nehmen als$n \to \infty$Dies würde in der Tat die obere Gleichheit beweisen.

Leider konnte ich mich nicht darum kümmern, wie ich zum Wolfram Alphas-Teilsummenergebnis komme. Wenn jemand eine Idee hat, lass es mich wissen. Irgendwelche Tipps sind willkommen.

Answer 1

Mit einem Wort: die Begriffe Teleskop auf schöne Weise.

Mit Teilfraktionen haben wir $$ \frac{n^4-n^3+n+1}{n^6-1} = \frac{1}{3}\left(\frac{n - 2}{n^2 - n + 1}- \frac{n-1}{n^2 + n + 1} + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}\right) $$Wir müssen etwas vorsichtig sein, da die harmonischen Reihen voneinander abweichen. Deshalb sollten wir nur Terme mit entgegengesetzten Vorzeichen gruppieren. Die letzten beiden Begriffe bilden eine bekannte Teleskopserie:$$ \frac{1}{3}\sum_{n=2}^{m}\left(\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right)= \frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)\longrightarrow \frac{1}{2} $$Die ersten beiden Begriffe Teleskop, wobei der zweite Begriff den vorhergehenden frisst: $$ \frac{1}{3}\sum_{n=2}^{m}\left(\frac{n - 2}{n^2 - n + 1}- \frac{n-1}{n^2 + n + 1} \right)= -\frac{1}{3}\cdot \frac{m-1}{m^2+m+1}\longrightarrow 0 $$So etwas funktioniert im Allgemeinen nicht, aber ich werde einem Geschenkpferd nicht in den Mund schauen.