Tensorprodukt einfacher Module über halb-einfache Lie-Algebren
$ \newcommand{\g}{\mathfrak{g}} \newcommand{\h}{\mathfrak{h}} \newcommand{\k}{\mathfrak{k}} $
Lassen $\g$ und $\h$ seien Sie zwei halb einfache Lie-Algebren und lassen Sie $\k := \g \oplus \h$. Zeigen Sie, dass a$\k$-Modul ist einfach, wenn es das Tensorprodukt von simple ist $\g$-Modul und $\h$-Modul.
Wir können annehmen, dass alle beteiligten Lie-Algebren / Vektorräume endlichdimensional sind und das betroffene Feld sowohl algebraisch geschlossen als auch charakteristisch ist$0$.
Wir stellen zunächst fest, dass wenn $V$ ist ein $\g$-Modul und $W$ ist ein $\h$-Modul also $\k$ wirkt auf $V \otimes W$ durch Folgendes: $$ q = g \oplus h \implies q \cdot (v \otimes w) := (g \cdot v) \otimes w + v \otimes (h \cdot w) $$ Es ist leicht zu überprüfen, ob diese Aktion tatsächlich funktioniert $V \otimes W$ ein $\k$-Modul. Leider habe ich von hier aus keine großen Fortschritte. Zum$\impliedby$, erste Idee ist anzunehmen $V \otimes W$ ist nicht einfach und lass $U \subseteq V \otimes W$ein nicht triviales richtiges Submodul sein. Dann können wir vielleicht eine Art Projektion von auferlegen$U$ auf zu $V$ und $W$ und widersprechen ihrer Einfachheit, indem sie zeigen, dass dies ein nicht triviales geeignetes Submodul in induziert $V$ oder $W$im Widerspruch zu ihrer Einfachheit. Soweit ich weiß, gibt es jedoch keine solche Vorstellung für ein Tensorprodukt.
Zum $\implies$Meine Idee ist auch ähnlich, aber es ist klar, dass $V$ und $W$ sind keine Submodule von $V \otimes W$Ich bin mir also nicht sicher, wie ich mit dem Bau des $V$ und $W$ eine willkürliche gegeben $\k$-Modul entweder.
Jede Hilfe wird geschätzt.
Hinweis : Die folgenden Fragen beziehen sich.
- Tensorprodukt irreduzibler Darstellungen von halb-einfachen Lie-Algebren : Die Lösung verwendet den Jacobson-Dichtesatz, der bei endlichdimensionalen Lie-Algebren / Vektorräumen wahrscheinlich überfordert ist. Ich suche einen Beweis ohne diesen Satz.
- Tensorprodukt irreduzibler Darstellungen : Dies scheint ebenfalls verwandt zu sein, aber die Frage geht davon aus, dass es sich um das betreffende Feld handelt$\Bbb{C}$. Darüber hinaus verwenden die beiden (nicht akzeptierten) Antworten die Clebsch-Gordon-Formel, mit der ich nicht vertraut bin.
EDIT : Nach dem Hinweis von Torsten Schöneberg konnte ich fast einen Beweis für die$\implies$Richtung. Wir erwägen$U$, ein $\k$-submodul, als $\g$-Modul über die Aktion: $$ g \cdot u := \underbrace{(g \oplus 0)}_{\in \g \oplus \h} \cdot u $$ Dann seit $\g$ ist halb einfach, $U$ ist halb einfach als $\g$-Modul, damit wir schreiben können $U = \bigoplus_{i=1}^n X_i$ für einfach $X_i$. Ebenso können wir schreiben$U = \bigoplus_{i=1}^m Y_i$ wie bei $Y_i$ einfach sein $\h$-Module. Wenn alle von$X_i$ sind isomorph (und ähnlich alle von $Y_i$), dann können wir einen expliziten Isomorphismus daraus konstruieren $X_1 \otimes Y_1 \to U$, was den Beweis vervollständigt. Bisher konnte ich die Behauptung jedoch nicht nachweisen.
Antworten
Betrachten Sie die assoziative Algebra, um die umgekehrte Implikation zu zeigen $A\subseteq End(V)$ durch das Bild erzeugt $\rho: \mathfrak{g} \rightarrow End(V)$. Schon seit$\mathfrak{g}$ ist halb einfach, das Bild $\rho(\mathfrak{g})$ist auch halb einfach. Insbesondere kann man den Casimir-Operator auf finden$\rho(\mathfrak{g})$, und $A$enthält Identität. Beachten Sie, dass$V$ ist auch eine einfache $A$-Modul. Zuletzt können wir einige Ergebnisse aus der Darstellungstheorie der assoziativen Algebra verwenden, um dies zu zeigen (siehe Etingof Einführung in die Darstellungstheorie, Folgerung 3.2.1), um dies zu sehen$A = End(V)$ und wenn $U\subseteq V \otimes W$können wir einige finden $a \in End(V)$ und $b \in End(W)$ so dass $b(a(u)) \in U$ ist ein reiner Tensor und angemessen zu finden $a\in End(V)$ und $b \in End(W)$ man kann alle Basisvektoren von erhalten $V\otimes W$.
Um die Vorwärtsimplikation zu beweisen, betrachten Sie zunächst $U$ Als ein $\mathfrak{g}$Modul. Beachten Sie, dass$U = \bigoplus_{i=1}^n V_i $ für einige einfache $V_i$von Weyl. Wählen Sie einen von ihnen und sagen Sie$V= V_1$. Nun überlegen Sie$\hom_{\mathfrak g}(V,U) \otimes V$ Als ein $\mathfrak h \oplus \mathfrak g$ Modul, wo $h \in \mathfrak h$ wirkt auf $\phi\in \hom_{\mathfrak g}(V,U)$ durch $h \phi$ (und $\mathfrak g$wirkt trivial). Dann betrachten Sie die Karte$f_V: \hom_{\mathfrak g}(V,U) \otimes V \rightarrow U$ gegeben durch $$f_V(\phi \otimes v) = \phi(v).$$ Man kann zeigen, dass diese Karte eine ist $\mathfrak{g \oplus h}$ Modulisomorphismus durch Zeigen, dass diese lineare Abbildung injektiv ist und $f_V$ pendelt mit der Aktion von $\mathfrak{g \oplus h}$daher muss es surjektiv sein. Wir schließen daraus, dass dies der Fall sein muss$\hom_{\mathfrak g}(V,U)$ ist eine einfache $\mathfrak{h}$ Modul, sonst $\hom_{\mathfrak{g}}(V,U) \otimes V$ teilt sich in direkte Summe von $\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{h}$ Module.