Über Summen quadratischer Residuen

Question

Lassen$p>3$eine Primzahl sein. Legen wir fest$R=\{x\in\mathbb{Z}: (x/p)=1\}$, wo$(\cdot/p)$ist das Legendre-Symbol. Wann$p\equiv3\pmod4$, durch Klassenformeln imaginärer quadratischer Körper$\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$, das können wir leicht erreichen$$A_p:=\sum_{0<x<p/2,x\in R}x=(p^2-1)/16,\ \text{if}\ p\equiv7\pmod8,$$und das$$A_p=\sum_{0<x<p/2,x\in R}x=(p^2-1+8ph(-p))/16,\ \text{if}\ p\equiv3\pmod8,$$wo$h(-p)$ist die Klassennummer von$\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$. Allerdings in dem Fall$p\equiv1\pmod4$Ich kann den expliziten Wert von nicht erhalten$$A_p=\sum_{0<x<p/2,x\in R}x.$$

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Answer 1

Durch Standardformeln für Werte von L-Funktionen bei negativen ganzen Zahlen, z$p\equiv1\pmod4$hat man$$A_p=(p^2-1)/16+aL(\chi_p,-1)\;,$$mit$a=3/4$Wenn$p\equiv1\pmod8$und$a=5/4$Wenn$p\equiv5\pmod8$wo$\chi_p(x)=(x/p)$.