Übung über Schwarz Lemma

Question

Dies ist eine Übung über das Schwarz Lemma:

Lassen $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ eine einfach verbundene Domain sein und $z_0 \in \Omega \neq \mathbb{C}$. Weiterhin lassen$f, g: \Omega \to \Omega$ biholomorph, so dass

\begin{align} f(z_0) = g(z_0), \qquad f'(z_0) = g'(z_0). \end{align}

Beweise es $f = g$.

Der Hinweis besagt, dass Schwarzs Lemma sowie Riemanns Mapping-Theorem verwendet werden sollen. Tatsächlich kann ich später nur noch Schwarzes Lemma verwenden (in diesem Fall). Könnte mir jemand einen richtigen (zweiten) Hinweis geben, wie man Schwarzs Lemma benutzt, um das zu zeigen$f = g$? Sollte ich in Betracht ziehen, zu verwenden$h:= f-g$?

Answer 1

Schon seit $\Omega\subsetneq\Bbb C$ ist einfach verbunden, dann wissen wir durch den Riemann-Mapping-Satz, dass er existiert $h:\Omega\to\Delta$ biholomorph, so dass $h(z_0)=0,\; h'(z_0)\neq0$, wo $\Delta$ ist die offene Einheitsplatte.

Betrachten Sie dann $$ F:=h\circ g^{-1}\circ f\circ h^{-1}\colon\Delta\to\Delta $$ Das ist ein Biholomorphismus, so dass $F(0)=0$ und $|F(z)|<1$ im Großen und Ganzen $\Delta$;; so bekommen wir von Schwartz Lemma\begin{align*} &|F(z)|\le|z|\;\;\forall z\in\Delta. \end{align*} Schwartz gilt für $F^{-1}$ auch uns erreichen zu lassen $|F^{-1}(w)|\le|w|\;\;\forall w \in\Delta$.

Da jeder $w\in\Delta$ kann geschrieben werden als $F(z)$ für eine einzigartige $z\in\Delta$, wir bekommen

$$ |z|\le|F(z)|\;\;\; \forall w\in\Delta $$ und somit $$ |F(z)|=|z|\;\;\forall z\in\Delta. $$ Also impliziert Schwarz $F(z)=az$ für einige $a\in\Bbb C,\;|a|=1$.

Nehmen Sie die Ableitung dieses letzten bei $0$ eine und nutzen Sie Ihre Hypotese auf $f$ und $g$, du bekommst das $a=1$ und somit $f=g$.

Answer 2

Hinweis: Jede bi-holomorphe Karte von der Einheitsscheibe $U$ auf sich selbst ist von der Form $z \to e^{i\theta} \frac {z-a}{1-\overline a z}$ wo $|a|<1$ und $\theta \in \mathbb R$. Wenn zwei solcher Karten irgendwann den gleichen Wert und die gleiche Ableitung haben, dann sind die Werte von$\theta$ und $a$fallen zusammen und die Funktionen sind daher gleich. Wenden Sie nun RMP an, um dasselbe für jede einfach verbundene Region zu beweisen$\Omega$ außer $\mathbb C$.