Verallgemeinerung der Liouville Lambda-Funktion

Question

Lassen $n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_m}_m,$ und definieren $$\lambda_k(n)= (-1)^{ [\frac{\Omega(n)}{k} ]},$$ wo $\Omega(n)= \alpha_1 + \cdots + \alpha_k,$ und $[\cdot]$ ist die Bodenfunktion.

Zum $k=1$, $\lambda_1$ist die Liouvilles Lambda-Funktion. Zum$k=2$::

$\lambda_2(1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2)=-1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2p_3)=-1 \hspace{2 mm} \text{ and so on...}.$

- Ist etwas über diese Funktion bekannt?

-Wenn wegen $\Re(s)>1$ wir definieren $$L(s, \lambda_2):= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda_2(n)}{n^s},$$

Gibt es eine Verbindung zwischen $L_{\lambda_2}(s)$ und die Nullen der Riemannschen Zetafunktion?

-Ich denke (ohne zu wissen, wie man das beweist) $$\sum_{n<x} \lambda_2(n) = o(x),$$ ähnlich zu $\lambda_1$ sollten wir Quadratwurzel-Aufhebung auf Summe von erwarten $\lambda_2$ auch?

Answer 1

Betrachten wir einfach den Fall $k=2$;; Sie können versuchen, dieses Argument für größere zu verallgemeinern$k$. Zum$k=2$, $$ \sum_{n\le x} \lambda_2(n) = \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 0,1 \mod 4}} 1 - \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 2,3 \mod 4}} 1. $$ Dies kann ausgedrückt werden als $$ \text{Re} \sum_{n\le x} i^{\Omega(n)} + \text{Im} \sum_{n\le x}i^{\Omega(n)}, $$und jetzt kann man Selberg - Delange benutzen. Dies zeigt eine asymptotische Expansion für$\sum_{n\le x} i^{\Omega(n)}$und der führende Begriff in der Asymptotik ist $$ C x (\log x)^{i-1}, $$ für eine geeignete Konstante $C$. So können Sie eine Asymptotik für Ihre Summe finden, die von der Form sein wird$$ A \cos(\log \log x) \frac{x}{\log x} + B \sin(\log \log x) \frac{x}{\log x}, $$ für geeignete Konstanten $A$ und $B$. Seltsam! Aber dann schaust du auch auf ein seltsames Objekt!